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Didáctica de la perspectiva cónica



La perspectiva: introducción a la concepción artística y subjetiva

Las fases didáctico-metodológicas

Anejo I: la perspectiva cónica y su enfoque intuitivo

Anejo II: la metodología didáctica inductiva y deductiva en la p. cónica

Anejo III: ejemplo de las diferentes metodologías didácticas


La perspectiva: introducción a la concepción artística y subjetiva.
La definición de la perspectiva.

La perspectiva, según una definición que interesa para el desarrollo del presente trabajo, se puede concebir como un método o sistema para representar el espacio sobre el plano del papel. Panofsky adopta la definición de Dürero: “hablaremos de una visión espacial perspectiva” únicamente allí donde sean representados no sólo objetos específicos como casas o muebles y representados en “escorzo”, sino donde la totalidad del cuadro se haya transformado en una ventana a través de la cual nos parece estar viendo el espacio, donde la superficie material en relieve o pictórica sobre la cual aparecen las formas de las distintas figuras o cosas dibujadas, es negada como tal y transformada en un espacio unitario y total, en el cual se comprenden todas las cosas que en él figuran, y no importa si esta proyección es determinada por una impresión inmediata sensible o por una construcción geométrica más o menos “correcta”.

-Con construcción geométrica más o menos “correcta” Dürero se refiere a la perspectiva central, descubierta durante el Renacimiento. Podemos entenderla básicamente del modo siguiente:
-Partiendo de la definición anterior y del concepto, de ventana-cuadro, debemos partir de imaginar el cuadro como la intersección plana de la denominada “pirámide visual”. La pirámide visual está formada por un lado por el centro visual tomado como un único punto (el ojo), unido con los diferentes puntos específicos del cuadro.
La perspectiva central propone 2 hipótesis importantes:
-Que miramos a través de un ojo único e inmóvil.
-Que la intersección plana de la pirámide visual habría de considerarse como la reproducción oportuna de nuestra imagen visual.
Estas hipótesis representan una abstracción de la realidad importante, sobretodo en el segundo caso porque la estructura de un espacio infinito, constante, y homogéneo, se opone a la del espacio psicofisiológico; no podemos hablar ni de infinitud ni de homogeneidad en el espacio perceptivo. Pero es que en realidad la finalidad de la perspectiva exacta es transformar el espacio psicofisiológico en otro matemático.

La imagen retínica en contraposición a la perspectiva geométrica.

En la imagen retínica -independientemente de su interpretación “psicológica”- las formas se proyectan sobre una superficie cóncava que no plana, con lo cual, ya se esta dando una discrepancia fundamental entre la “realidad” y la construcción. Además de esta discrepancia existe otra provocada por el movimiento de los ojos y la forma esférica de la retina: mientras las perspectiva plana proyecta las líneas rectas como tales líneas rectas, nuestro órgano visual las considera curvas (convexas si se observan desde el centro de la imagen). Por ejemplo: Las líneas de fuga de un edificio que en construcción plana nos parecen rectas, serian curvadas en “realidad”. Y no solo las horizontales sino incluso las verticales. Hasta la gente de hoy en día no reconoce estas curvaturas y la culpable de eso es nuestra educación en la perspectiva plana, estamos condicionados por sus permisas y sus leyes cuando afirmamos que lo que es recto siempre aparece como recto, sin pensar que el ojo no proyecta sobre un lienzo plano sino sobre una superficie esférica.

Camino histórico hacia el espacio sistemático de la perspectiva central.

La Antigüedad clásica, un tiempo en el que se veía en perspectiva, pero no en perspectiva plana, conocía la existencia de estas curvaturas. La óptica clásica era prácticamente contraria a la perspectiva plana. La base está en que se representaba la forma del campo visual como una esfera, por lo que mantiene la convicción de que las dimensiones visuales (como proyecciones sobre la esfera ocular) son determinadas, no por la distancia existente entre los objetos y el ojo, sino exclusivamente por la medida del ángulo de visión. A partir de esta premisa Panofsky plantea de que modo los clásicos hubieran podido desarrollar un procedimiento geométrico–perspectivo exacto, ya que resulta imposible desarrollar una superficie esférica sobre un plano. Según los textos de Vitrubio (arquitecto romano) parece que la pintura antigua helenística-romana tardía conoció un procedimiento que partía de la concepción de una esfera de proyección; de hecho las obras conservadas de éste periodo coinciden con las teorías de Vitrubio, en un hecho importante que es la convergencia de las líneas de dos en dos en diferentes puntos en un eje común, generando la impresión de una espina de pez. Esta forma de reproducción espacial se caracteriza por (comparada con la moderna): una inestabilidad muy particular y una incoherencia interna.
Todo esto parece una cuestión estrictamente matemática y no artística, ya que podemos afirmar que los errores de perspectiva no tienen nada que ver con el valor artístico. Pero aunque la perspectiva no es un momento artístico, si que es un momento estilístico, hasta incluso más: la perspectiva puede ser considerada como una de aquellas “formas simbólicas” a través de las cuales “un contenido de significación espiritual se adapta a un signo concreto y sensible y se identifica íntimamente con él”; y es en este sentido que resulta importante ver en las diferentes épocas y ámbitos artísticos no únicamente si tienen perspectiva sino también que tipo de perspectiva tienen.
El arte de la Antigüedad clásica era un simple arte del cuerpo que no sólo reconocía como realidad artística lo que era visual, sino también lo tangible; no unía los diferentes elementos determinados funcionalmente y proporcionalmente en una unidad espacial, sino que los disponía en grupos plástica o tectónicamente. Incluso cuando más tarde el helenismo afirma la gracia de la superficie observada desde fuera, continua uniendo la representación artística a simples detalles y no llega a concebir el espacio como una cosa continua sino como aquello que sobra entre los cuerpos, así pues el espacio es visto como una simple superposición, no como una unidad completa. Las líneas de profundidad convergen pero nunca en un horizonte unitario, y aún menos en un centro unitario; las dimensiones disminuyen hacia el fondo pero nunca en una disminución constante, sino continuamente interrumpida por una figura desproporcionada. Las modificaciones que sufren la forma y el color de los cuerpos debido a la distancia son representadas con una audacia que podríamos considerar estas pinturas como precursoras del impresionismo moderno.
Así pues la perspectiva antigua es la expresión de una determinada concepción de la visión espacial distinta a la moderna, y con esto supone una determinada concepción del mundo, y distinta a la moderna. Y es únicamente a partir de éste punto que es comprensible que el mundo antiguo se pudiera conformar con una impresión del espacio tan “vacilante como falsa”; porque el sentimiento del espacio expresado en el arte figurativo no exigía en absoluto el espacio sistemático.
Asimismo los filósofos clásicos tienen una misma concepción del espacio no sistemático: la totalidad del mundo permanece siempre como algo discontinuo ya sea en Demócrito, Platón o Aristóteles. De tal forma que vemos claramente como hay una conjunción de sensibilidades en como el “espacio estético” y el “espacio teórico” muestran el espacio perfectivo, que en el primer caso aparece simbolizada y en el segundo afectada por las leyes lógicas.
La Edad Media. Parece que a través de la creación de una distancia, obtenida a través de un retorno al pasado, llegando al abandono, es posible la reanudación creativa de los problemas considerados anteriormente. De éste modo entre la Antigüedad y la Modernidad tenemos la Edad Media; la misión artística de la Edad Media fue reunir en una unidad real lo que havia sido configurado en la multiplicidad. Pero el camino hacia esta nueva unidad pasa por la destrucción de la existente: la aparente sucesión de figuras deja paso a la superposición, unas figuras y formas que aunque no son totalmente planas, se encuentran referidas al plano, que destacan sobre un fondo neutro. De éste modo llegamos a la desintegración de la idea de perspectiva. La superficie del cuadro ya no permite mirar a través, sino que es una superficie que quiere ser rellenada: resultando un conjunto inmaterial pero a la vez sin agujeros, una unidad que no es sino colorística o lumínica.
Una unidad que encuentra en la concepción del espacio de la filosofía del momento su analogía teórica: la metafísica de la luz del neoplatonismo pagano y cristiano; en el cual el mundo se considera por primera vez como un continuum y queda al mismo tiempo privado de su compacidad y su racionalidad; el espacio se ha convertido en algo homogéneo e homogenizador pero no mesurable, y por lo tanto sin dimensiones.
Arte Bizantino. Partiendo del sentido espacial medieval el siguiente paso hacia el moderno “espacio sistemático” tendría que llevar hacia un espacio más mesurable y lumínicamente fluctuante. En el arte bizantino se manifiesta el esfuerzo para continuar la reducción del espacio a la superficie, y al mismo tiempo acentuar el único medio de consolidación y sistematización: la línea. Por lo que se refiere a la perspectiva, este arte ha conseguido que los motivos paisajistas y los elementos arquitectónicos fueran utilizados como elementos que aunque no enmarcaran el espacio si que lo aluden. Por lo que el bizantinismo conservó, a pesar de su desorganización, los diferentes elementos de las configuraciones espaciales de la antigua perspectiva y los transmitió al Renacimiento Occidental.
Arte Románico: El arte norte-occidental europeo rompió mucho más con la tradición antigua, que no el bizantinismo europeo sud-oriental, con el Románico. Ahora la línea no es nada más que línea, la función de la cual es la limitación y ornamentación de la superficie, mientras que la superficie ya no es una vaga ilusión de una espacialidad sino una superficie bidimensional portadora de imagen material. Con esta radical transformación se ha renunciado a cualquier alusión espacial, y quizá supone la condición previa para la aparición de una concepción realmente nueva de la visión espacial. A la vez que la unión que se ha conseguido entre los cuerpos y el espacio hará que, cuando más tarde los cuerpos se liberen de las ligaduras de la superficie, no puedan crecer sin que el espacio crezca también con ellos.
Gótico. Con la escultura románica el estilo de superficie pura desarrollado por la pintura se traslada en la arquitectura en unos relieves que por primera vez están conformadas en la misma pared. Y cuando ahora el gótico recupera la antigua teoría aristotélica del espacio, cuando hace destacar la estatua como forma independiente, de algún modo es un retorno a la antigüedad. Pero esta vez las esculturas liberadas del relieve no pueden dejar de formar parte de ese todo homogéneo, puesto en manifiesto y para siempre por el románico. Es extremadamente simbólico que la estatua del arte gótico o pueda vivir sin un baldaquín que no sólo la une a la masa de construcción, sino que le confiere un determinado espacio libre y una ordenación. Pero este espacio es limitado; el arte gótico tiene una construcción espacial muy clara, pero en su limitación, los cuerpos y el espacio libre empiezan a ser consideradas dos formas de expresión igualmente valiosas, y sobretodo de una unidad homogénea inseparable.
Exactamente igual a la teoría espacial de Aristóteles, que reprendida por la escolástica, experimentó una reinterpretación fundamental cuando se postuló la infinitud de la existencia y de la acción divina por encima de la infinitud del cosmos empírico.
El nacimiento del “espacio sistemático”. Y ahora el sentimiento del gótico reforzado por las formas paisajistas y arquitectónicas del arte bizantino se mantiene de forma parcial, y se funden en una sola unidad. Giotto Y Duccio serán los que con esta gran síntesis entre gótico y bizantinismo crean la concepción del espacio moderno. Con Giotto y Duccio hay una revolución en la valoración de la superficie de representación: se ha convertido otra vez en la superficie transparente en la cual nos parece estar viendo un espacio, aunque esté limitado por los cuatro lados; aquello pintado vuelve a formar parte de una espacialidad sin límites, pero esta vez más unitariamente organizada que en la antigüedad. Pero de momento solo se ha llegado a la unificación perspectiva de una superficie total que no llega ni mucho menos a la unificación de todo el espacio.
La clarificación y sistematización del sistema perspectivo después de Duccio emprende muchos caminos; los que finalmente lo completan y sistematizan serán los hermano Lorenzetti. Las ortogonales se orientan con plena conciencia matemática hacia el punto de fuga (en una concepción del punto de fuga ya como imagen de los puntos infinitamente lejanos de todas las líneas de profundidad). Lo que al mismo tiempo, representa el descubrimiento del infinito mismo. Y por otro lado el plano adquiere una nueva significación, ya no es la superficie base de una caja espacial limitada por los cuatro lados, sino la superficie de una porción de espacio, que aunque esté limitada permita ser pensada, por lo que se refiere a los lados, tan ilimitada como se quiera. La superficie base sirve para permitir observar tanto las medidas como las distancias del los diferentes cuerpos que sobre ella se ordenan. Representando, en cierta forma, el primer ejemplo de un sistema de coordenadas e ilustra el moderno “espacio sistemático” en la esfera concretamente artística antes que se postulara el pensamiento abstracto matemático.
Hacia la perfección. La conquista de éste punto de vista, nuevo, moderno y definitivo, pasa por superar el problema de la parte central de la imagen porque las ortogonales laterales no tienen el mismo punto de fuga que las centrales. Esta discrepancia muestra que el concepto de infinito se encuentra aún en evolución, y por otra que aún no se ha llegado a que “el espacio existe antes que los cuerpos que se encuentran en él y por eso debe establecerse gráficamente ante que ellos” como describe Pomponi Gauricus 160 años más tarde. Parece que no es hasta el año 1420 en que se descubre la “construcción legítima”. No se sabe si fue Brunelleschi el primero en elaborar un procedimiento de plano perspectivo matemáticamente exacto, y si consistió realmente en la construcción de planta y alzado que confirma dos generaciones más tarde Piero della Francesca. También hay que concebir a Alberti, el mérito de haber enlazado el método lógico-abstracto con el uso tradicional y con esto haber facilitado su utilización práctica. Con esto el Renacimiento había conseguido racionalizar totalmente en el plano matemático la imagen del espacio. Consiguiendo una construcción espacial unitaria y no contradictoria de extensión infinita dentro de la cual los cuerpos y sus intervalos interespaciales están unidos según una ley general matemáticamente fundamentada, de la cual se desprendía cuando debía distar una cosa de otra, y que relación tenían que encontrar entre ellas. Esta conquista significaba en aquel tiempo no solamente elevar el arte a la categoría de ciencia sino que la impresión visual sujetiva havia sido racionalizada hasta llegar al punto de formar la base para la construcción de un mundo empírico, en un sentido totalmente moderno, “infinito”. Se había conseguido la transición del espacio psicofisiológico al matemático: la objetivación del subjetivismo.
Esta conquista perspectiva representa a su vez una expresión concreta del que habían descubierto al mismo tiempo teóricos del conocimiento y filósofos de la naturaleza: Paralelamente a la superación de la espacialidad de Giotto y Duccio (parecida a la concepción transitoria de la alta escolástica), el pensamiento abstracto llega a la fractura con la concepción aristotélica del mundo, renunciando a la concepción del cosmos construido alrededor de un centro absoluto circunscrito por la última esfera celeste, desarrollando así el concepto de una infinitud real, no solo prefigurada por Dios, sino también por la realidad empírica. Esta concepción del espacio es ya la misma que aparecerá posteriormente racionalizada en el cartesianismo y en la teoría kantiana.
Cuando la perspectiva deja de ser un problema técnico-matemático, empezó a ser un problema artístico. La perspectiva es un arma de dos filos: por un lado ofrece a los cuerpos el lugar para desplegarse plásticamente y moverse, pero por otra parte ofrece a la luz la posibilidad de extenderse en el espacio y diluir los cuerpos pictóricamente. A la vez que, por un lado reduce los fenómenos artísticos a reglas matemáticas pero por otro los hace dependientes del hombre, en la medida que estas reglas se fundamentan en condiciones psicofisiológicas de la impresión visual y en la medida que se expresan por la elección de un punto de vista subjetivo, elegido a voluntad. Así pues la historia de la perspectiva es un triunfo del sentido de la realidad distanciante y objetivante, como el triunfo de la voluntad de poder humana, así como la consolidación y sistematización del mundo exterior. Por esto la reflexión artística siempre tuvo que replantearse en que sentido tenía que utilizar este método ambivalente. Y precisamente estos nuevos problemas de la perspectiva llevaron a épocas, naciones, e individuos a una toma de posición clara y decisiva respecto a ellos. Por esto es comprensible que el Renacimiento tuviera un sentido de la perspectiva totalmente distinto al Barroco o por ejemplo Italia totalmente distinto al norte: en Italia se consideró fundamentalmente el significado objetivo, en el norte el sujetivo. Así, Rembrandt lleva hasta sus últimas consecuencias el problema del “espacio cercano” mientras que los italianos crean en sus frescos en los techos el “espacio alto”, y otros utilizan el “espacio oblicuo”. A la vez que en estas tres formas de representación designan el momento en que el espacio, como concepción del mundo, se purifica definitivamente de todas las contaminaciones subjetivas, filosóficamente con Descartes y en el terreno perspectivo-teórico con Desargues. En un arte en el que sustituida la unidimensionalidad por multilateral, abstrae totalmente la dirección visual y alcanza todas las direcciones espaciales.
A partir de aquí se establece que la concepción perspectiva del espacio puede ser combatida desde dos puntos totalmente distintos: la concepción perspectiva valorada e interpretada en el sentido de racionalidad y objetivismo, o en el sentido de subjetivismo y en calidad de fortuito. Pero al fin ya al cabo, esta polaridad es el doble aspecto de una misma cosa y cada objeción apunta a un único y mismo punto. La perspectiva en cualquier caso, se fundamenta en la voluntad de construir el espacio figurativo a partir de elementos y del esquema del espacio visual empírico; la perspectiva matematiza este espacio visual, pero es precisamente este espacio visual lo que matematiza: es decir, sí es un orden, pero un orden de apariencias visuales. Por lo que reprocharle una cosa o la otra es una simple cuestión de matiz.

El enfoque filosófico sobre la subjetividad de la perspectiva: el perspectivismo.

Si la perspectiva es la construcción de una imagen en función del punto de vista del observador, el perspectivismo, como concepción filosófica, supone que toda representación es dependiente del sujeto que la constituye. En la historia de la filosofía este término se asocia generalmente a Nietzsche y, especialmente, a Ortega y Gasset. En cierto sentido la monadología de Leibniz es un perspectivismo (cada mónada es una perspectiva del universo), por ello Ortega cita este texto de Leibniz: «una misma ciudad mirada desde diferentes lados parece completamente distinta y se multiplica perspectivamente [...] hay diferentes universos que, no obstante, son perspectivas distintas de uno solo». La realidad, pues, se ofrece en perspectivas individuales: «donde está mi pupila no está otra». El ser del mundo no está dado de una vez para siempre, sino que siempre es una perspectiva que aparece así como una condición epistemológica para captar la auténtica realidad. Este perspectivismo permite a Ortega superar tanto el escepticismo como el racionalismo. Además, la perspectiva no aparece desde un punto de vista abstracto, ya que el yo no es algo dado, sino una unidad dramática de yo y mundo, es decir, del Yo y su circunstancia: «yo soy yo y mi circunstancia», y «vivir es no tener más remedio que razonar ante la inexorable circunstancia». La circunstancia y la perspectiva se articulan permitiendo el acceso a la verdad, y el punto de esta articulación lo proporciona la historia. Por ello, el perspectivismo orteguiano conduce, desde una razón vital –raciovitalista- hasta una razón histórica, puesto que la circunstancia es siempre circunstancia histórica concreta, y la perspectiva es la de un yo que parte de esta circunstancia.
También Nietzsche defiende una posición perspectivista que concibe como articulación entre conocimiento y necesidades vitales. Esta tesis se funda en una concepción del ser entendido como devenir (en el que no existen verdades absolutas, pues toda verdad es interpretación y ello viene a propósito de que la perspectiva, sea natural –la del ojo- o artificial –la geométrica- tampoco es una verdad absoluta, pues la segunda no representa con total veracidad la primera), y del conocimiento entendido desde el punto de vista de su unión con las necesidades vitales.

Las fases didáctico-metodológicas:

Tras tomar en consideración detalles y concepciones subjetivas sobre la articulación de la perspectiva como método de acceso a la verdad, vamos a considerar distintos métodos didácticos. Estudiaremos la enseñanza de la perspectiva atendiendo especialmente a concepciones de pedagogos, filósofos y científicos relevantes.
Este trabajo está basado especialmente y de forma preliminar en los estudios de epistemología genética de Piaget (1896-1980). Tal como la define su fundador, la epistemología genética es una teoría del desarrollo del conocimiento, que «trata de descubrir las raíces de los distintos tipos de conocimiento desde sus formas más elementales y seguir su desarrollo en los niveles ulteriores, inclusive hasta el pensamiento científico». Piaget parte de la convicción de que el conocimiento es una construcción continua, y de que la inteligencia no es más que una adaptación del organismo al medio, a la vez que el resultado de un equilibrio entre las acciones del organismo sobre el medio y de éste sobre el organismo. De aquí que el núcleo central de la epistemología genética consista en una explicación del desarrollo de la inteligencia como un proceso según fases o génesis, cada una de las cuales representa un estadio del equilibrio que se produce entre el organismo y el medio, a través de determinados mecanismos de interrelación, como son la asimilación y la acomodación, a la vez que un momento o fase de adaptación del organismo al medio. Estas diversas fases de equilibrio se caracterizan como estructuras, porque organizan o estructuran la conducta del organismo en el trayecto de su adaptación.
Para explicar el origen del conocimiento, se han dado tradicionalmente dos explicaciones: la empirista y la apriorista o innatista. Según la primera, el conocimiento proviene de fuera del organismo humano y el sujeto aprende a recibirlo más o menos pasivamente; según la segunda, el conocimiento es una imposición de estructuras internas del sujeto sobre los objetos. A la primera Piaget la ha llamado «génesis sin estructuras» y a la segunda, «estructuras sin génesis». Frente a estas dos soluciones históricas, Piaget sostiene la postura propia de que no hay estructuras que no provengan de otras estructuras, esto es sin génesis, y de que toda génesis, o desarrollo, requiere una estructura previa. A su entender, el origen del conocimiento no se explica suficientemente ni a partir de los objetos ni de los sujetos, ya constituidos e independientes los unos de los otros; sino de ambos, y precisamente a partir de una casi total indiferenciación (de sujeto y objeto) al comienzo de la vida del niño. Al nacer, el niño no tiene conciencia de sí mismo ni se percibe como sujeto ni percibe las cosas como objetos; no hay, al comienzo, diferenciación entre sujeto y objeto. Uno y otro serán resultado de una interacción mutua, que se logra a través de la acción o actuación del sujeto sobre los objetos y de éstos sobre aquél. Puede decirse, según Piaget, que el pensamiento tiene su origen en las operaciones del sujeto (operacionismo). En ese intercambio mutuo consiste exactamente el proceso adaptativo biológico, que, en el aspecto psicológico, no es otra cosa que el desarrollo progresivo de la inteligencia. La adaptación consiste en la sucesiva conformación de estructuras cognoscitivas, que son precisamente sucesivas organizaciones de maneras de actuar el sujeto. Los mecanismos de transformación de estas estructuras sucesivas son la asimilación y la acomodación:
Asimilación es la acción del organismo sobre los objetos a los que modifica, mientras que la acomodación es la modificación del sujeto causada por los objetos. Lo que se modifica son precisamente los esquemas de acción, entendiendo como esquema una manera constante de actuar, que supone una organización de la inteligencia. La inteligencia, para Piaget, igual que el instinto, no es más que una extensión adaptativa del órgano, mediante el cual se regulan las relaciones con el medio. De ahí que pueda hablarse de las bases biológicas de la epistemología genética.
En el desarrollo del conjunto de estos esquemas de comportamiento, Piaget distingue dos grandes fases: la de la inteligencia sensoriomotriz y la de la inteligencia conceptual:

1- El desarrollo de la inteligencia sensoriomotriz tiene lugar desde el nacimiento hasta los 18/24 meses. A partir de la modificación de los reflejos innatos de la succión y de la prensión, el niño empieza a desarrollar su inteligencia, práctica y manipulativa (sensoriomotriz), que consiste fundamentalmente en una diferenciación entre él y el mundo o los objetos: los objetos externos se hacen independientes y estables y el niño puede actuar sobre ellos, y éstos a la vez producen una acomodación en el niño, que consiste en la producción de nuevos esquemas de acción con los que actúa sobre los objetos de manera más coordinada. Las principales adquisiciones de la inteligencia en este período son: la aparición de objetos permanentes, la del espacio, la de la sucesión temporal de los acontecimientos y cierta relación de causalidad.

2- La segunda fase importante, la aparición de la inteligencia conceptual, se realiza en diversas etapas: tras la aparición del lenguaje, o de la función simbólica que lo hace posible (18/24 meses) y hasta más o menos los 4 años, se desarrolla el pensamiento simbólico y preconceptual; desde los 4 a los 7/8 años, aproximadamente, aparece el pensamiento intuitivo y preoperativo; de los 7/8 años a los 11/12 se extiende el período de las operaciones concretas, u operaciones mentales sobre cosas que se manipulan o perciben; a los 11/12 años, más o menos, y a lo largo de la adolescencia, aparece el período de las operaciones formales, que constituye la inteligencia reflexiva propiamente dicha.
Sobre el pensamiento formal Jean Piaget refiere que “es, por lo tanto, «hipotético-deductivo», es decir, que “es capaz de deducir las conclusiones que hay que sacar de puras hipótesis, y no sólo de una observación real. Sus conclusiones son válidas aun independientemente de su verdad de hecho, y es por ello por lo que esa forma de pensamiento representa una dificultad y un trabajo mental mucho más grande que el pensamiento concreto”. (Piaget, J.: “Seis estudios de psicología”, Seix Barral, Barcelona 1973, 6ª ed., p. 96-97).


Se ha actuado en este trabajo con dos grupos de adultos, y dada la complejidad de los contenidos, según éstos métodos:

a) Desde el pensamiento operativo: la acción es un pensamiento, que ya no es meramente intuición y se convierte en «operación», y esto sucede cuando las acciones se convierten en transformaciones reversibles; la reversibilidad es la característica de la inteligencia operatoria y sobre ella se fundan las estructuras lógicas elementales, que se desarrollan en la intuición y en las experiencias como son, por ejemplo, el análisis de la perspectiva. El desarrollo intelectual es básico: se ha liberado de la percepción inmediata de los objetos, pero permanece aún ligado a ellos, porque opera con cosas concretas. En este apartado hemos introducido una fase intuitiva y a veces inductiva, cohesionando las dos en virtud de su mayor afinidad.

b) Mediante las operaciones formales: En ella, el pensamiento se libera de lo material, concreto y real para referirse a lo posible, y ver, entre las diversas posibilidades, aquéllas que se relacionan de un modo necesario. No se piensa sobre objetos, sino sobre hipótesis, en las que el contenido no se tiene en cuenta propiamente, e importa sólo la forma. Entonces, como dice Piaget, la realidad entera se hace accesible a la inteligencia, que es el estado de equilibrio al cual tienden todas las adaptaciones, tanto en el nivel sensoriomotor como en el cognoscitivo, así como las restantes interacciones que existen entre el organismo y el medio, a través de la asimilación y la acomodación. Aquí estudiamos el proceso lógico-deductivo.

Fases metodológicas:

Antes de estudiar los métodos concernientes a este trabajo, vamos a concebir qué entendemos por un método a seguir, para ello nada mejor que la definición cartesiana: “Así, pues, entiendo por método reglas ciertas y fáciles, mediante las cuales el que las observe exactamente no tomará nunca nada falso por verdadero, y, no empleando inútilmente ningún esfuerzo de la mente, sino aumentando siempre gradualmente su ciencia, llegará al conocimiento verdadero de todo aquello de que es capaz”. (Descartes, René: “Reglas para la dirección del espíritu”, Regla IV. Alianza, Madrid 1984, p. 79).

1ª- Intuitiva

La intuición se puede concebir de dos formas, en un sentido ordinario y general, puede entenderse como tal el «presentimiento» que alguien se atribuye cuando dice saber algo sin ser consciente de las razones por las que lo sabe. Es un fenómeno psicológico complejo, cuya interpretación incumbe a la psicología. En sentido filosófico, se define como un conocimiento inmediato, en el que el objeto conocido es captado directamente por la facultad correspondiente, la sensibilidad o el entendimiento.
Como conocimiento, la intuición puede referirse a una u otra de las facultades mencionadas; en el primer caso se trata de conocimiento intuitivo sensible, o experiencia de lo particular y concreto, y en el segundo, de un posible conocimiento intuitivo de carácter intelectual de un principio, una idea o un concepto, conocimiento que generalmente no se admite o, por lo menos, cuyo sentido es muy discutible. Como conocimiento inmediato, la intuición elimina todo tipo de proceso o elemento intermedio entre el sujeto que conoce y el objeto conocido: excluye, por ejemplo, la mediación de la inferencia, de la abstracción o del concepto, o de algún otro objeto o procedimiento intermedio.
Desde Kant parece quedar claro que no existe la intuición intelectual y que, si se habla de intuición, debemos referirnos a objetos sensibles o fenómenos. Se está de acuerdo en el carácter inmediato de la percepción y puede llamarse intuición sensible al conocimiento empírico inmediato, sin dejar de lado, no obstante, los problemas con que nos enfrentamos a la hora de precisar en qué consiste dicho conocimiento y en qué nos basamos a la hora de aceptarlo. Para Immanuel Kant las intuiciones deben ir aderezadas con conceptos pues: “Sin sensibilidad ningún objeto nos sería dado, y sin entendimiento, ninguno sería pensado. Los pensamientos sin contenidos son vacíos; las intuiciones sin conceptos son ciegas. Por ello es tan necesario hacer sensibles los conceptos (es decir, añadirles el objeto de la intuición) como hacer inteligibles las intuiciones (es decir, someterlas a conceptos)”. Kant I.: “Crítica de la razón pura”, Lógica trasc., II, Introducción, 1, B 75 (Alfaguara, Madrid 1988, 6ª ed., p. 93).
El conocimiento intuitivo intelectual es generalmente rechazado, y no se admite la intuición como una fuente de conocimiento, porque todo conocimiento se define más bien como una creencia racional justificada, esto es, basada en razones, de las que uno debe ser consciente. Estas razones que atañen al conocimiento de la perspectiva, pueden ser: que se trate de un enunciado analítico, que pueda inferirse de otros enunciados, que pueda ser objeto de comprobación o experiencia directa como sucede con la perspectiva -fenómeno observado y verificable-, o que pueda comprobarse recurriendo a la ciencia o al testimonio fidedigno (como presumiblemente el del profesor), o que se trate de algo que esté fuera de toda duda razonable (como el efecto de la perspectiva, aunque no sus principios).
Cualquier enunciado que sea evidente para alguien, ha de serlo porque alguien tiene tan buenas razones para considerarlo verdadero que le producen la mayor certeza posible; la evidencia no funda el conocimiento, sino que es tan sólo la máxima certeza que proviene del conocimiento.
En general, la teoría de la intuición, entendida como posibilidad de conocimiento inmediato de algo tanto en el orden sensible como en el intelectual, se ha basado en la doctrina tradicional de las facultades, de origen aristotélico: “es evidente que hemos de llegar a conocer las premisas primarias por inducción, pues el método por el que aun la percepción sensible siembra en nosotros el universal es inductivo. Ahora bien, de entre los estados de pensamiento por los que captamos la verdad, unos son infaliblemente verdaderos, mientras que otros admiten error: la opinión, por ejemplo, el cálculo; el conocer científico, en cambio, y la intuición son siempre verdaderos; además, ninguna otra especie de pensamiento, excepto la intuición, es más exacto que el conocimiento científico, mientras que las premisas primarias son más cognoscibles que las demostraciones y todo conocimiento científico es discursivo. De todas estas consideraciones se deduce que no habrá conocimiento científico de las premisas primarias, y puesto que, excepción hecha de la intuición, nada puede ser más verdadero que el conocimiento científico, será la intuición la que aprehende las premisas primeras, conclusión que también se deduce del hecho de que la demostración no puede ser la fuente originaria de la demostración, ni, por consiguiente, el conocimiento científico del conocimiento científico. Si, pues, es ella la otra especie única de pensamiento verdadero fuera del conocimiento científico, la intuición será la fuente originaria del conocimiento científico”. -Analítica posterior, 100b (Aristóteles, Obras completas, Aguilar, Madrid 1973, p. 413).
Las teorías epistemológicas actuales intentan más bien explicaciones de tipo lingüístico del conocimiento; por lo mismo, si se habla de intuición, exigen que se determine qué tipo de expresión proposicional adopta dicha intuición, mientras que si el enfoque es sintáctico deducimos la perspectiva en elementos que soslayan la investigación.
Históricamente, las teorías sobre la intuición arrancan de Platón y Aristóteles. Platón habla del pensamiento puro, por oposición al conocimiento discursivo, y del conocimiento de la esencia de las cosas a través de la idea del Bien. Aristóteles se refiere a la intuición intelectual de los primeros principios y de las esencias o universales, que no es más que el coronamiento de un conocimiento que comienza por los sentidos, pero que llega a captar la necesidad y la universalidad de los primeros principios o axiomas, cosa que los sentidos no pueden alcanzar pero sí dirigir.
La filosofía escolástica se ocupó preferentemente de la cuestión de si al hombre le compete alguna posibilidad de intuición intelectual, cuestión que se resolvía aludiendo a la situación futura del hombre bienaventurado en la contemplación intuitiva de la divina esencia.
La filosofía moderna retomó la idea de la intuición intelectual aristotélica de los primeros principios, y de ella hizo Descartes, como por lo demás había hecho ya Aristóteles, el punto de partida de todo pensar discursivo. A ella atribuye las características de la evidencia: la claridad y la distinción. René Descartes entiende por intuición intelectual: “no el testimonio fluctuante de los sentidos, o el juicio falaz de una imaginación que compone mal, sino la concepción de una mente pura y atenta tan fácil y distinta, que en absoluto quede duda alguna sobre aquello que entendemos; o, lo que es lo mismo, la concepción no dudosa de una mente pura y atenta, que nace de la sola luz de la razón y que por ser más simple es más cierta que la misma deducción [...]. Así cada uno puede intuir con el espíritu que existe, que piensa, que el triángulo está definido por tres líneas, la esfera por una sola superficie, y cosas semejantes que son más numerosas de lo que cree la mayoría”. (Descartes R.: “Reglas para la dirección del espíritu”, Regla III. Alianza, Madrid 1984, p. 75-76).
El empirismo matizó que dicha evidencia intelectual sólo podía tener comienzo en un conocimiento sensible. La filosofía trascendental de Kant limitó la posibilidad de intuición al mundo fenoménico: la intuición empírica es la aceptación del objeto por medio de la sensibilidad; la intuición pura es la exigencia trascendental del espíritu de que toda intuición empírica suceda en el espacio y tiempo y es la manera como el espíritu piensa la posibilidad de todo objeto de la experiencia sensible. No hay posibilidad alguna de conocer intuitivamente, esto es, directamente, concepto alguno, puesto que todo concepto, si no ha de ser vacío, debe integrarse en la experiencia. El idealismo alemán de Schelling, Fichte y Hegel, renovó la noción de intuición intelectual, transformada en la identidad absoluta del sujeto y el objeto. En épocas recientes, Bergson y Husserl han fundamentado sus respectivos sistemas en una noción peculiar de intuición. Como que a la razón le resulta imposible captar el sentido de la vida, vivida desde la perspectiva humana, desde la duración, Bergson recurre a la vivencia directa de la misma, a la intuición, entendida como posibilidad del espíritu humano de acceder al corazón mismo de las cosas. Husserl, por su parte, se refiere a la «intuición eidética» como conocimiento directo de la esencia, que no se apoya en los hechos; al contrario, el conocimiento de éstos requiere el previo de la esencia, pasando de aquéllos a éstas por medio de la «reducción fenomenológica o eidética». Por peculiares que puedan parecer estas ideas han constituido el trasfondo histórico sobre el que se ha edificado el existencialismo posterior.

De la evidencia de la visión inmediata: intuitiva y discursiva.

Hay evidencia cuando algo se hace tan presente al espíritu humano que es imposible dudar de ello, por eso a veces se la denomina «luz intelectual». Se define como aquella situación en que se halla una mente que percibe, de una manera inmediata y clarividente y que da origen a una certeza total, que un enunciado es verdadero, sin tener que recurrir a pruebas o demostraciones. Es, por tanto, una cualidad subjetiva de la mente que conoce, y no una propiedad de un objeto conocido. Ha sido adoptada como criterio de verdad de la epistemología clásica y es que la evidencia es, asimismo, criterio de certeza como podemos observar por ejemplo, en la obra de Descartes: “El primero [principio] consistía en no admitir cosa alguna como verdadera si no se la había conocido evidentemente como tal. Es decir, con todo cuidado debía evitar la precipitación y la prevención, admitiendo exclusivamente en mis juicios aquello que se presentara tan clara y distintamente a mi espíritu que no tuviera motivo alguno para la duda”. (Descartes, René: “Discurso del método”, Segunda parte. Alfaguara, Madrid 1981, p. 15).
Spinoza, describe tres formas de acceder al conocimiento: “resulta claro que percibimos muchas cosas y formamos nociones universales: primero, a partir de las cosas singulares, que nos son representadas por medio de los sentidos, de un modo mutilado, confuso y sin orden respecto del entendimiento: y por eso suelo llamar a tales percepciones «conocimiento por experiencia vaga»; segundo, a partir de los signos; por ejemplo: de que al oír o leer ciertas palabras nos acordamos de las cosas, y formamos ciertas ideas semejantes a ellas, por medio de las cuales imaginamos esas cosas. En adelante, llamaré, tanto al primer modo de considerar las cosas como a este segundo, «conocimiento del primer género», «opinión» o «imaginación»; tercero, a partir, por último del hecho que tenemos nociones comunes e ideas adecuadas de las propiedades de las cosas; y a este modo de conocer lo llamaré «razón» y «conocimiento del segundo género». Además de estos dos géneros de conocimiento, hay un tercero [...] al que llamaremos «ciencia intuitiva». Y este género de conocimiento progresa, a partir de la idea adecuada de la esencia formal de ciertos atributos de Dios, hacia el conocimiento adecuado de la esencia de las cosas”. (Spinoza, B.: “Ética demostrada según el orden geométrico”, II, proposición XL, escol. 2. Editora Nacional, Madrid 1980, p. 157).

La evidencia puede identificarse con la intuición, pero no es necesariamente intuitiva, puede ser también discursiva; puede lograrse a través de un proceso de inferencia. Al admitirse las denominadas geometrías no euclídeas, se rechazó la idea de que fuera la evidencia el fundamento necesario de los principios matemáticos: “El resultado más conocido y, en muchos aspectos, más importante de las investigaciones axiomáticas es la invención de las llamadas geometrías no euclídeas. Sabemos hoy que Gauss poseía la mayor parte del conocimiento esencial para su construcción (en parte desde 1792), pero no se atrevió a publicarlo porque temía el «griterío de los beocios». Esto mostrará lo enérgica que puede llegar a ser la influencia de opiniones escolásticas tradicionales, y lo necesaria que es una educación que promueva una visión libre de prejuicios para el progreso de la ciencia. La historia de la geometría no euclídea empieza con la publicación de una obra del matemático ruso Lobatschevski, hacia 1840. El punto esencial consiste en establecer el hecho siguiente: eliminado el postulado euclídeo de la paralela [...] y sustituyéndolo por cualquier otra hipótesis adecuada, al mismo tiempo que se conservan todos los demás axiomas anteriores, es posible por medio de las reglas corrientes de deducción, derivar de este nuevo conjunto de axiomas una nueva geometría. Un tal sistema geométrico no contiene en sí mismo ninguna contradicción, aunque contradice ciertos teoremas de la geometría euclídea. Este hecho refuta la opinión de que los teoremas de geometría enseñados en nuestras escuelas se imponen por las leyes del pensamiento y son verdades absolutamente seguras, independientes de toda experiencia. [...] El estudio de la axiomática geométrica ha probado que puede construirse una geometría consistente que no obedece al axioma de la paralela y, por tanto, no concuerda con la geometría euclídea; así pues, la afirmación de que la geometría corriente es lógicamente inevitable, apodícticamente cierta, e independiente de toda experiencia, queda refutada”. (Richard von Mises: “Evidencia y matemáticas”. Los postulados matemáticos y el entendimiento humano, en C.G. Hempel y otros, Matemática, verdad, realidad, ed. por J.R. Newman, Grijalbo, Barcelona 1974, p. 160-162).
En la teoría del conocimiento actual, la evidencia queda relegada a ser un criterio subjetivo de verdad y de certeza, importando más el establecimiento de una teoría de la verdad y de la creencia racional, la determinación del significado de los enunciados y las condiciones que deben cumplirse para una adecuada contrastación de los mismos. Los sistemas axiomáticos modernos no recurren a la evidencia como fundamento y las ciencias empíricas se caracterizan menos por plantearse el problema de la verdad que el del método de contrastar sus afirmaciones.

2- Inductiva o experimental

En un sentido general, ya desde la antigüedad clásica, encierra la idea de dirigirse uno mismo o dirigir a los otros hacia un concepto general o hacia una verdad universal, a partir de casos menos generales o universales. En la práctica supone creer que del conocimiento de los hechos, directamente conocidos, podemos pasar al conocimiento de hipótesis, leyes o teorías. En un sentido estricto, tal como la define la lógica, es una forma no deductiva de razonar o inferir, empleada en la ciencia y en la misma vida cotidiana, que se caracteriza porque la conclusión contiene más información que la que contienen las premisas, por lo que, aun siendo verdaderas sus premisas, la conclusión puede ser falsa. Se caracteriza, por tanto, como:
a) Un razonamiento en el que las premisas no transmiten su verdad a la conclusión: no preserva la verdad de las premisas (por consiguiente no siempre es un razonamiento válido); esta característica pone en evidencia la debilidad de la manera inductiva de argumentar: utilizamos en realidad razonamientos en los que no nos parece contradictorio admitir la verdad de las premisas, pero no la de la conclusión.
b) Un razonamiento, cuya conclusión contiene más información que las premisas (amplía el conocimiento). Esta característica pone de manifiesto el interés que ofrece este tipo de argumentación en la ciencia y en la vida práctica: a diferencia del razonamiento deductivo, aumenta el conocimiento.
Los razonamientos inductivos, pese a ser inválidos desde la perspectiva de la lógica deductiva, no carecen de interés e importancia, porque de alguna manera son característicos de la ciencia empírica –y ésta puede ser un puente entre el dibujo y la geometría.
La conclusión no se sigue necesariamente de las premisas y, por más razonables que puedan aparecer las conclusiones, pueden ser falsas. Lo razonable de estos argumentos se basa en que, si bien la verdad de la conclusión no está garantizada por las premisas, éstas hacen muy razonable creer en la verdad de la conclusión. En un razonamiento deductivo la verdad de la conclusión está garantizada por su forma lógica (si las premisas son verdaderas), mientras que en un razonamiento inductivo la verdad de la conclusión depende de la fuerza de las evidencias o de las pruebas contenidas en las premisas y en el caso de la perspectiva las evidencias radican en las experiencias previas de la observación, de la intuición. Por esta razón, la fuerza inductiva de un razonamiento puede ser mayor o menor, esto es, el razonamiento puede ser más o menos probable. Con todo, un razonamiento inductivamente sólido puede tener una conclusión falsa, incluso en el caso de que las premisas sean verdaderas. La razón está en que, en un argumento inductivo, la conclusión va más allá de las premisas y añade información no contenida en ellas; el conocimiento que proporcionan no está ya contenido en las premisas, sino sólo apoyado por ellas. El apoyo que éstas confieren puede ser más o menos fuerte o débil.
La noción básica de fuerza inductiva de una argumentación (el grado de verdad con que se impone la conclusión) se suele explicar mediante el concepto de probabilidad: si una determinada inferencia inductiva es un buen argumento (goza de mucha fuerza inductiva), existe una probabilidad elevada de que la conclusión sea verdadera. Esta probabilidad inductiva admite grados y viene a ser la medida con que se valora la fuerza inductiva de un razonamiento.
Para Karl R. Popper la inducción es innecesaria ya que “nunca es posible «justificar» o verificar las teorías científicas. Mas, a pesar de ello, una hipótesis determinada, A, puede aventajar bajo ciertas circunstancias a otra, B: bien sea porque B esté en contradicción con ciertos resultados de la observación -y, por tanto, quede «falsada» por ellos-, o porque sea posible deducir más predicciones valiéndose de A que de B. Lo más que podemos decir de una hipótesis es que hasta el momento ha sido capaz de mostrar su valía, y que ha tenido más éxito que otras: aun cuando, en principio, jamás cabe justificarla, verificarla ni siquiera hacer ver que sea probable. Esta evaluación de la hipótesis se apoya exclusivamente en las consecuencias deductivas (predicciones) que pueden extraerse de ella: no se necesita ni mencionar la palabra «inducción»”. (Popper, K.: “La lógica de la investigación científica”, Tecnos, Madrid 1977, p. 293).
No obstante, el procedimiento inductivo forma parte del método experimental de las ciencias empíricas, según el cual se obtienen hechos en condiciones ideales de observación con miras, sobre todo, a contrastar una hipótesis, ley o teoría, o simplemente para verificar la existencia de un fenómeno determinado, como puede ser el de la perspectiva, efecto percibido por todos. Normalmente, la experimentación se relaciona con la inducción, puesto que la repetición de experimentos confirmadores de una hipótesis parece permitir la inferencia de que «si siempre que se realiza un determinado experimento se confirma una determinada hipótesis, entonces esta hipótesis es verdadera». Por su parte, la lógica muestra la imposibilidad de verificar enunciados de tipo general, mientras que admite la posibilidad de refutarlos. La experimentación parece estar más en consonancia con los principios del método hipotético-deductivo, donde se recurre a la experiencia para intentar descubrir los fallos de una teoría o de un enunciado que se supone verdadero, poniéndolos a prueba ante los hechos. La experimentación científica recurre a métodos cuantitativos y se realiza preferentemente en el laboratorio, o en el caso que nos ocupa mediante maquetas prácticas donde se verifican los principios metodológicos de la perspectiva.
Isaac Newton enunciaba que “en los principios matemáticos, hay que emplear, en la investigación de las cosas difíciles, el método analítico antes de recurrir al método sintético. Ese primer método consiste en hacer experimentos y observaciones, y en sacar de ellos, por inducción, las conclusiones generales, y en no admitir ninguna objeción contra estas conclusiones que no sea tomada de alguna experiencia o de otras verdades ciertas. Pues en cuanto a las hipótesis, no hay que tener con ellas ningún miramiento en la filosofía experimental. Y aunque los razonamientos fundados por inducción sobre los experimentos y las observaciones no establecen demostrativamente conclusiones generales, es empero la mejor manera de razonar que puede admitir la naturaleza de las cosas; y debe ser reconocida tanto mejor fundada cuanto la inducción es más general. Y si no hay ninguna objeción por parte de los fenómenos, se puede sacar una conclusión general. Pero si en la secuencia se presenta alguna excepción por parte de los fenómenos, es necesario entonces que la conclusión sea limitada por tales o cuales excepciones que se presenten. A favor de esta especie de análisis se puede pasar de los compuestos a los simples, y de los movimientos a las fuerzas que los producen y en general de los efectos a las causas y de causas particulares a otras más generales, hasta que se llegue a las más generales. Tal es el método que se nombra análisis. En cuanto a la síntesis, consiste en tomar por principios las causas conocidas y experimentadas, en explicar por su medio los fenómenos que de ellas provienen, y en probar estas explicaciones”. (Newton I.: Óptica, l. III, cuestión XXXI. Citado por R. Blanché, “El método experimental y la filosofía de la física”, FCE, México 1980, p. 165-167).
Según Penrose, “los matemáticos descubren, no inventan”, de lo cual se podría inferir que muchas deducciones se basarían en inducciones, en experimentos prácticos con la geometría, en la observación en la naturaleza de fenómenos perspectivos.

3- Deductiva

La deducción es una operación mental, llamada inferencia, por la que afirmamos la verdad de un enunciado partiendo de la verdad de enunciados conocidos. Una deducción toma la forma expresa de un razonamiento, o secuencia de fórmulas que o son axiomas, o teoremas, o premisas o fórmulas derivadas de otras mediante reglas de inferencia. A toda deducción formal le corresponde una estructura, o forma. Los razonamientos, por razón de esta forma, pueden ser válidos, o correctos, o inválidos e incorrectos. Una deducción formal consta de una secuencia finita de fórmulas que o son supuestos iniciales, axiomas o teoremas, o bien fórmulas que se siguen lógicamente de los supuestos iniciales por aplicación de reglas. El último elemento de la secuencia es la conclusión del razonamiento. No es raro, en la lógica moderna, preferir el término derivación al de deducción.
Descartes describe la deducción como aquella “por la cual entendemos todo aquello que se sigue necesariamente de otras cosas conocidas con certeza. [...] Así pues, distinguimos aquí la intuición de la mente de la deducción en que ésta es concebida como un movimiento o sucesión, pero no ocurre de igual modo con aquélla; y además, porque para ésta no es necesaria una evidencia actual, como para la intuición, sino que más bien reciben en cierto modo de la memoria su certeza”. (Descartes R.: “Reglas para la dirección del espíritu”, Regla III. Alianza, Madrid 1984, p. 76-77).
La veracidad de los enunciados es la que compete a un enunciado por su forma lógica, o su estructura lógica, independientemente del significado de los términos que lo componen, o de los casos de sustitución de las letras del enunciado.
Sobre la veracidad de la perspectiva es necesario puntualizar que, como ya se describió, lo que en un principio fue un descubrimiento del Renacimiento, hoy con los elementos de la geometría proyectiva se ha convertido en “un invento” construido con elementos convencionales. La característica semántica que incumbe a la construcción de la perspectiva en virtud de su forma lógica o su estructura lógica, se puede definir de dos maneras: un enunciado o una forma proposicional que es una verdad lógica si resultan siempre verdaderos cualesquiera que sean las interpretaciones que hagamos como ejemplos de sustitución de las variables o de los enunciados primitivos, o bien que un enunciado es una verdad lógica si es una inferencia válida sin premisas, esto es, una tautología o un teorema semántico -con significación- o lógico.
En lógica se utiliza un lenguaje formal que, además de símbolos y fórmulas, consta de procedimientos deductivos, convirtiéndose, por lo mismo, en un cálculo lógico. Como lenguaje deductivo ha de definir los símbolos básicos o primitivos de que dispone, las reglas (sintácticas) de formación de fórmulas y las de transformación de fórmulas, o reglas de inferencia. Los métodos de deducción pueden basarse en axiomas, en axiomas y reglas de inferencia (sistemas axiomáticos) o sólo en reglas de inferencia (sistemas de deducción natural, por ejemplo).
Los sistemas formales deben gozar de determinadas propiedades, o atributos, para ser adecuados: han de ser capaces de expresar todo aquello que les importa expresar (sus teoremas) y, como deductivos, han de ser capaces de demostrar cuáles de sus expresiones son fórmulas válidas y si sólo éstas lo son. Por tanto, han de gozar de consistencia, compatibilidad o no-contradicción, de modo que toda fórmula que pueda demostrarse sea también verdadera (y si es deducible sin premisas, ha de ser una verdad universalmente verdadera), lo que implica, a su vez, que del sistema formal no pueda derivarse una fórmula A y su contraria ¬A. Ha de gozar también de completud, (la propiedad de un sistema formal por la que se llama completo si todo enunciado lógicamente verdadero para el sistema es también deducible de sus axiomas), así, toda fórmula verdadera en el sistema pueda ser también demostrada (y si es universalmente válida ha de ser un teorema del sistema).
Además de estas dos características formales necesarias, un sistema formal axiomático, ha de mostrar independencia de axiomas, esto es, el conjunto de axiomas o principios del sistema no ha de ser redundante, y, además, todo sistema formal puede gozar, o no, de decidibilidad. (Decidible es la propiedad de los sistemas formales que disponen de un procedimiento de decisión efectivo, o un algoritmo, que permite determinar si toda expresión bien formada del sistema es o no es deducible dentro del sistema). Una expresión bien formada es deducible si es un teorema del sistema. A su vez, una fómula es decidible dentro de un sistema si ella o su negación son teoremas del sistema.
Epistemológicamente, debemos proceder en un afán de rigor metodológico que impulse a expresar las teorías geométricas a modo de sistemas axiomáticos en un lenguaje formalizado, a saber, un lenguaje artificial construido según las reglas de la formalización: empleo de símbolos (definidos y no definidos) sometidos a reglas (sintácticas) de formación de fórmulas y deducción (cálculo) de nuevas fórmulas, cuyo conjunto se denomina «sistema formal».
Es deseable el método deductivo en geometría por la validez de sus principios y demostraciones, además, como cree Mario Bunge “las ciencias formales demuestran o prueban, las ciencias fácticas verifican (confirman o desconfirman) hipótesis que en su mayoría son provisionales. La demostración es completa y final; la verificación es incompleta y por ello temporaria. La naturaleza misma del método científico impide la confirmacion final de las hipótesis fácticas. En efecto, los científicos no sólo procuran acumular elementos de prueba de sus suposiciones multiplicando el número de casos en que ellas se cumplen; también tratan de obtener casos desfavorables a sus hipótesis, fundándose en el principio lógico de que una sola conclusión que no concuerde con los hechos tiene más peso que mil confirmaciones. Por ello, mientras las teorías formales pueden ser llevadas a un estado de perfección (o estancamiento), los sistemas teóricos relativos a los hechos son esencialmente defectuosos; cumplen, pues, la condición necesaria para ser perfectibles”. (Bunge M.: “La ciencia, su método y su filosofía”, Siglo Veinte, Buenos Aires 1972, p.16).
Entender la perspectiva desde una estructura lógica, entendida como ciencia formal, que sólo se ocupa de la forma de sus enunciados y de las propiedades fundamentales de estas formas, que son la validez y la deducción, es convertirla en un lenguaje simbólico: un sistema de signos, con reglas sintácticas de construcción y de transformación.
Esta idea de un puro lenguaje sin contenido, aplicada a la perspectiva, se convierte, en el «formalismo», en una de las principales concepciones generales de la enseñanza de la geometría -aunque nunca aplicada hasta entonces a la geometría descriptiva-, junto con el logicismo y el intuicionismo.
El formalismo, como el concebido por Hilbert, contiene: términos primitivos (sin significado relacionado con objetos); reglas de formación de fórmulas (sintácticas); axiomas o postulados (que no se demuestran); reglas de transformación (para deducir a partir de los axiomas); definiciones (todo término es definido o es primitivo; y teoremas (fórmulas válidas del sistema, o verdaderas en el sistema, que son un axioma o una fórmula deducida según las reglas de transformación). También son propiedades de un sistema formalizado:
1- La consistencia (que el sistema no implique ninguna contradicción).
2- La completud (que implique la posibilidad de demostrar toda verdad propia del sistema).
3- La decidibilidad (que el sistema disponga de un procedimiento de demostrar si una fórmula es un axioma o un teorema del sistema).
4- La compatibilidad, (es decir, no deben ser contradictorios).
5- La independencia (que ninguno de los axiomas se ha de deducir de los demás). ¿Cómo lo demostramos?, pues creando un modelo que sean todos los axiomas válidos menos el que buscamos que sea independiente.
Sin embargo, Kurt Gödel demostró, en 1931, que la geometría es una teoría incompleta (contiene verdades o elementos válidos en el sistema cuya verdad no es decidible –esto es, ni demostrable ni refutable- por el sistema).

La axiomatización

Los términos o nociones primitivas son los conceptos que sirven para iniciar el desarrollo de una teoría matemática. De un modo intuitivo, podemos pensar que se trata de las palabras con las que se inicia una de esas teorías.
La axiomatización de una teoría requiere de un conjunto de nociones primitivas, es decir nociones no definidas y un grupo de axiomas que describen las propiedades mínimas que deben satisfacer las nociones primitivas. A partir de estos elementos, respetando las reglas de inferencia lógica, se deben deducir todas las otras proposiciones que constituyen la teoría. Es deseable que los axiomas y nociones primitivas tengan un gran contenido intuitivo.
Referente a la axiomática de Hilbert, S. Daval y B. Guillemain en su obra “Filosofía de las ciencias”, describen: “La geometría, lo mismo que la aritmética, no exige para su construcción lógica, más que un pequeño número de principios fundamentales simples. Estos principios fundamentales son los llamados axiomas de la geometría. La exposición de estos axiomas y su examen profundo es un problema que, desde Euclides, ha constituido el objeto de numerosas memorias notables de la ciencia matemática. Este problema lleva al análisis lógico de nuestra intuición del espacio. La investigación que sigue es un nuevo ensayo, cuya finalidad es establecer la geometría sobre un sistema simple y completo de axiomas independientes y deducir de éstos los principales teoremas geométricos, de tal manera que el rol de los diversos grupos de axiomas y el alcance de las conclusiones que se sacan de los axiomas individuales se aclaren tanto como sea posible.
Concibamos tres diferentes sistemas de seres: a los seres del primer sistema los llamaremos puntos y los designaremos A,B,C,..; a los seres del segundo sistema los llamaremos rectas y los designaremos por a, b, c,...; y a los seres del tercer sistema los llamaremos planos y los designaremos por abc, ...; los puntos serán también llamados elementos de la geometría lineal; los puntos y las rectas, elementos de la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos, elementos de la geometría del espacio o elementos del espacio.
Concibamos que los puntos, las rectas y planos tengan entre sí ciertas relaciones mutuas y designemos estas relaciones por palabras tales como: «están situados», «entre», «paralela», «congruente» y «continuo»; la descripción exacta y completa de estas relaciones tiene lugar por medio de los axiomas de la geometría.
Los axiomas de la geometría se dividen en cinco grupos. Cada uno de estos grupos, tomado individualmente, expresa ciertas verdades fundamentales de la misma categoría, que derivan de nuestra intuición.” (Daval, S. y Guillemain, B.: “Filosofía de las ciencias”, El Ateneo, Buenos Aires 1964, p. 127-148).

Sobre “Los Elementos” de Euclides

Estos son los postulados y las definiciones básicas de la geometría clásica tal como aparecen en el libro Elementos escrito por Euclides en el siglo III A. C. Considerando el tiempo en que fue escrito, muchos conceptos y axiomas no fueron explicitados con la rigurosidad que exige la lógica de hoy, y más bien respondían, en algunos casos a la intuición. Estos vacíos lógicos fueron un motivo para que muchos matemáticos se dedicaran a elaborar una presentación axiomática adecuada. Uno de tales intentos fue el desarrollado por David Hilbert (1862 – 1943) y del cual también a continuación, se enuncian los elementos básicos.
“Los Elementos” de Euclides es considerado uno de los libros más influyentes de la historia de la ciencia. Se les considera el inicio de un intento de presentación formal de una teoría. La presentación de Euclides, comienza, en el Libro I, con cinco nociones comunes, cinco axiomas o postulados y 23 definiciones. A partir de esto deduce las 48 proposiciones que componen el Libro I. Pese a esta formalidad, desde el punto de vista lógico hay continuas mezclas entre lo estrictamente formal y lo intuitivo.
Actualmente, la axiomatización de una teoría requiere de un conjunto de nociones primitivas, es decir nociones no definidas y un grupo de axiomas que describen las propiedades mínimas que deben satisfacer las nociones primitivas. A partir de estos elementos, respetando las reglas de inferencia lógica, se deben deducir todas las otras proposiciones que constituyen la teoría. Es deseable que los axiomas y nociones primitivas tengan un gran contenido intuitivo.
Volviendo al problema de la geometría, las nociones de punto y recta son nociones primitivas, sin embargo Euclides las “define” dando una idea intuitiva. En cambio, Hilbert, usa como nociones primitivas: punto, recta, plano, incidencia, estar entre y congruencia. El matemático italiano Pieri, publicó en la misma época de Hilbert, 1899, una axiomatización que usa sólo dos nociones primitivas: punto y movimiento. Observando la presentación de Hilbert podemos apreciar que no era tan simple axiomatizar la geometría euclidiana.

Conceptos elementales de geometría según la presentación de Euclides:
Axiomas o Postulados

1. “Se puede trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto”.
2. “Se puede prolongar en una línea recta cualquier segmento rectilíneo”.
3. “Se puede describir un círculo con cualquier centro y radio”.
4. “Todos los ángulos rectos son iguales entre sí”
5. “Si una línea recta que incide sobre dos líneas rectas dadas produce ángulos internos del mismo lado menores que dos rectas, entonces esas dos líneas rectas, prolongadas indefinidamente, se cruzarán por el lado en que los ángulos internos sean menores que dos rectas”

El quinto postulado tiene otras formas equivalentes:
1. “Dado un punto P y una recta L, el punto fuera de la recta, existe una única paralela a la recta dada L que pasa por P”.
2. “Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta”.

Nociones comunes (Axiomas de igualdad)

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
2. Si a cosas iguales se añaden otras iguales, los resultados son iguales.
3. Si de cosas iguales se extraen iguales, los resultados son iguales.
4. Cosas que coinciden una con la otra son iguales.
5. El todo es mayor que sus partes.

Definiciones básicas (Libro I)

1. Punto es lo que no tiene partes.
2. Línea es lo que tiene longitud y no ancho.
3. Los extremos de una línea son puntos.
4. Una línea recta es una línea tal que dados 2 puntos de ella, el segmento determinado por ella está contenido en la recta.
5. Una superficie es lo que tiene ancho y largo solamente.
6. Los extremos de una superficie son líneas.
7. Una superficie plana es una superficie que contiene a todas sus rectas.
8. Un ángulo plano es la inclinación de una recta respecto a otra en un plano, las rectas se cortan y no coinciden.
9. Cuando las rectas que forman (contienen) el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.
10. Cuando una recta levantada sobre otra forma ángulos adyacentes iguales, cada ángulo es recto, y la línea recta levantada se llama perpendicular a la recta sobre la cual se levantó.
11. Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.
12. Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto.
13. Frontera es el extremo de alguna cosa.
14. Una figura es lo que está contenido por una frontera o varias.
15. Un círculo es una figura plana contenida por una línea tal que todas las rectas (segmentos) que van desde esta línea hasta un punto dentro de la figura son iguales entre ellas.
16. El punto en el interior se llama centro del círculo.
17. El diámetro de un círculo es cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y esta limitado por puntos de la circunferencia del círculo. Tal segmento corta al círculo en dos.
18. Un semicírculo es la figura comprendida por el diámetro y la circunferencia cortada por él.
19. Figuras rectilíneas son aquellas que están contenidas por líneas rectas. Triláteras se llaman aquellas contenidas por tres líneas rectas, cuadriláteras las contenidas por cuatro y multiláteras aquellas contenidas por más de 4 líneas rectas.
20. Entre las figuras triláteras, un triángulo equilátero es el que tiene sus tres lados iguales, un triángulo isósceles es el que tiene solamente 2 lados iguales y triángulo escaleno es el que tiene sus tres lados distintos.
21. Entre las figuras triláteras, un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, un triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso, y un triángulo agudángulo (acutángulo) es el que tiene sus tres ángulos agudos.
22. Entre las figuras cuadriláteras, un cuadrado es el que tiene sus lados iguales y sus ángulos rectos. Un rectángulo (oblongo) es el que tiene sus ángulos rectos, pero no es equilátero. Un rombo es una figura equilátera, pero no tiene ángulos rectos y un romboide es el que tiene sus lados y ángulos opuestos iguales, pero no es equilátero ni rectángulo. Todos los otros cuadriláteros se llaman trapecios.
23. Son rectas paralelas las que, estando en el mismo plano y prolongadas indefinidamente en ambas direcciones no se encuentran.

Condiciones fundamentales de un sistema axiomático

La teoría de los sistemas axiomáticos se divide en antigua y moderna. La primera tiene en cuenta el contenido de los axiomas, y la moderna sólo su aspecto formal. La axiomática moderna nace con la idea de prescindir del sentido, o contenido, de los conceptos utilizados, en este caso, de los conceptos geométricos, puesto que las primeras axiomáticas modernas tratan de la geometría, para considerar sólo el aspecto de la deducción, o relación deductiva, para poder ser suficientemente rigurosas: la axiomática es el sistema deductivo por excelencia.
Robert Blanché describe las condiciones fundamentales de un sistema axiomático:
“He aquí [...] las condiciones fundamentales a las que, para ser verdaderamente rigurosa, debe satisfacer una exposición deductiva:
1) Que sean enunciados explícitamente los términos primeros, con ayuda de los cuales se propone definir todos los otros.
2) Que sean enunciadas explícitamente las proposiciones primeras, con ayuda de las cuales se propone uno demostrar todas las otras.
3) Que las relaciones enunciadas entre los términos primeros sean puras relaciones lógicas, y permanezcan independientes del sentido concreto que se pueda dar a los términos.
4) Que sólo estas relaciones intervengan en las demostraciones, independientemente del sentido de los términos (lo que prohíbe, en particular, tomar prestado algo a la consideración de las figuras)”.
(Robert Blanché: La axiomática, UNAM, México 1965, p. 24-25).
Presentación axiomática de Hilbert

Axiomas de Hilbert
La fundamentación axiomática de la geometría no se consiguió hasta el año 1899, en el que Hilbert publicó un libro llamado Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de Geometría). Los elementos de Euclides tenían ya una estructura deductiva muy perfecta, pero en ellos se utilizaban a menudo implícitamente axiomas no formulados, definiciones poco claras e incluso razonamientos lógicamente incorrectos. Hilbert era perfectamente consciente de que no todos los términos que se usan en una teoría matemática se pueden definir y por lo tanto, comenzó su tratamiento de la geometría considerando de entrada tres tipos de objetos indefinidos: puntos, rectas y planos, y sus relaciones indefinidas: estar sobre, estar en, estar entre, se congruente, ser paralelo y ser continuo. En lugar de los cinco axiomas (o nociones comunes) y los cinco postulados de Euclides, Hilbert formula para su geometría un conjunto de 21 axiomas, que se conocen desde entonces como los “Axiomas de Hilbert” para la geometría euclídea.
Nociones primitivas: punto, recta, plano.
Relaciones entre estos elementos: incidencia, estar entre, igual (congruencia).
Axiomas: En esta presentación los axiomas están agrupados según su naturaleza, en cinco grupos.
I. Axiomas de incidencia.
II. Axiomas de orden.
III. Axiomas de congruencia.
IV. Axioma de las paralelas.
V. Axiomas de continuidad.
I. Axiomas de incidencia

I1: Dos puntos pertenecen al menos a una recta.
I2: Dos puntos cualesquiera pertenecen a una línea recta.
I3: Tres puntos que no pertenecen a una misma recta pertenecen al menos a un plano.
I4: Tres puntos no colineales determinan un único plano.
I5: Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, todos los puntos de la recta pertenecen a un mismo plano.
I6: Si un punto pertenece a dos planos, existe al menos otro punto que pertenece a los dos planos.
I7: Existen al menos cuatro puntos que no pertenecen a un mismo plano.
Nota: I1 es un axioma lineal. I2, I3 son axiomas del plano y los axiomas I4 a I7 se refieren al espacio. En particular, I6 implica que el espacio tiene a lo más 3 dimensiones y I7 implica que el espacio tiene al menos 3 dimensiones.

II. Axiomas de orden (palabra clave “entre”)

II.1: Si A,B,C son puntos de una recta y si B está entre A y C, entonces B está entre C y A.
II.2: Si A,B,C son tres puntos diferentes de una recta, uno y sólo uno de ellos está entre los otros dos.
Recíprocamente: Sí uno de los órdenes: ABC, BCA, CAB es válido para los puntos A, B, C en una recta, entonces A, B, C son diferentes entre ellos.
A, B y C en una recta, entonces A, B y C son diferentes entre ellos.
II.2.a Si A, B, C y D son puntos de una recta para la cual los órdenes ABC y BCD son válidos, se sigue que ABD es también válido.
II.2.b. Si A, B, C y D son puntos de una recta para los cuales los órdenes ABC y ABD son válidos, entonces el orden BCD o BDC es válido.
II. 3: Si A y B son diferentes de la recta L, existe un punto , para el cual el orden ABD es válido.
II. c: Si A y B son puntos diferentes de la recta L, existe un punto para la cual el orden ACB es válido.

III. Axiomas de Congruencia.

Existen ciertas relaciones entre segmentos que se expresan mediante la palabra igual o congruente y que posee las siguientes propiedades.
Axioma III-1 Igualdad de segmentos:
Todo segmento es igual a si mismo: y . Si es igual , entonces es igual a . Si es igual y es igual a , entonces es igual a .
Axioma III-2 Si A y B son puntos en una recta L y A’ es un punto en la recta L’, entonces siempre es posible encontrar sobre la recta L’, a uno u otro lado de A’ un único punto B’ tal que .
Axioma III-3 Si los segmentos y sobre la recta L no tienen puntos comunes, y si y sobre la recta L’ no tienen puntos comunes, entonces se cumple que las igualdades y implican que .
Definición: Sea P un plano y h,k dos semirrayos diferentes que parten de un punto O en P y que pertenecen a rectas distintas. El sistema de estos semirrayos se llama ángulo y se designa con el símbolo (h,k) o (k,h). Los semirrayos se llaman lados del ángulo y el punto O se llama vértice del ángulo. Se llama interior del ángulo la región del plano tal que al unir dos puntos cualesquiera de ella el segmento queda totalmente contenido en ella.
Axioma III-4 Dado un (h,k) en un plano P y una recta L’ en un plano P’ en el cual se fija un lado de L’ y h’ es un semirrayo de la recta L’ que parte de un punto O’. Entonces, existe un único semirrayo k’ de modo que el (h’k’) sea congruente con el (h,k) tal que los puntos interiores de (h’k’) se encuentren en el lado de L’. En símbolos:
(h,k) = (h’,k’).
Todo ángulo es congruente consigo mismo.
Axioma III-5 Si el (h,k) es congruente con el (h’k’) y el (h’k’) es congruente con el (h’’k’’), entonces el (h,k) es congruente con el (h’’k’’).
Axioma III-6 Si para los triángulos ABC y A’B’C’ valen las congruencias , y BAC = B’A’C’, entonces también se tienen las congruencias ABC = A’B’C’ y ACB = A’C’B’.
IV. Axioma de paralelismo

En un plano P por un punto A fuera de una recta L se puede trazar una y sólo una recta que no corte a la recta L. Tal recta se llama la paralela con la recta L por el punto P.
V. Axioma de continuidad (axioma de Arquímedes)

Dados dos puntos A y B sobre una recta L, siempre es posible construir una sucesión de puntos tales que: está entre A y B, entre y B, entre y B, etc, donde son segmentos iguales y esta entre y B.
Las paradojas: el teorema de incompletitud
Una antigua afirmación paradójica atribuida a Epiménides, nacido en Creta, sentenciaba: “todos los cretenses son unos mentirosos”, si mentía, decía la verdad, si decía la verdad, mentía. Hay una afirmación afín llamada paradoja del mentiroso, que formula: "Esta afirmación es falsa". Si esta es verdadera, esto significa que la afirmación es falsa, lo cual contradice nuestra primera hipótesis. Por otra parte, si la afirmación es falsa, la afirmación debe de ser verdadera, lo cual nos lleva de nuevo a una contradicción. Otra versión aun más simple de esta paradoja -como señaló Lewis Carrol- es la afirmación siguiente: "Yo estoy mintiendo." En estas afirmaciones se presenta el fenómeno llamado bucle extraño. Cualquier suposición inicial que se haga conduce a una refutación de ésta. Gödel hizo manipulaciones para trasladar el lenguaje natural del mentiroso al lenguaje de las matemáticas. Lo que probó es comparable a la afirmación: "Este teorema no tiene demostración".
Gödel descubrió que existían afirmaciones verdaderas que no podían ser probadas dentro del sistema. Fue un platónico convencido de que, además del mundo de los objetos, existe un mundo de conceptos al que los humanos tienen acceso por intuición. Gödel pensaba que el valor de verdad de un enunciado es independiente de que lo conozcamos. Si los axiomas no se contradicen entre sí, entonces, ese mismo hecho, codificado en enunciado numérico será "formalmente indecidible" a partir de dichos axiomas. Cualquier demostración de consistencia habrá de apelar a principios más fuertes que los axiomas. El teorema afirmaba que ningún sistema de leyes (axiomas o reglas) puede tener potencia suficiente para demostrar todos los enunciados verdaderos, sin ser al mismo tiempo tan fuerte que demuestre también enunciados falsos. El resultado frustró a Hilbert, quien tenía confianza en la posibilidad de fijar los fundamentos de las matemáticas mediante un proceso "autoconstructivo", en el que la consistencia pudiera deducirse de una teoría lógica sencilla y evidente. Gödel no creyó que sus conclusiones demostrasen la arbitrariedad del método axiomático-deductivo, sino sólo que la deducción de teoremas no puede mecanizarse del todo, justificando así el papel de la intuición en la investigación formal.

Primer teorema de Gödel
“Esta afirmación no es un teorema del sistema”.
• Si la afirmación fuera falsa, entonces sería un teorema (demostrable dentro del sistema) y además falso: imposible para un teorema.
• Si la afirmación es verdadera, entonces no es un teorema. O sea: Hay afirmaciones verdaderas que no se pueden demostrar.
• A esta afirmación también se le puede asignar un número, o sea que es un elemento válido del sistema, pero ese número no es el número de Gödel de ningún teorema del sistema.

Segundo teorema de Gödel
Sea P la afirmación indemostrable del primer teorema.
• El primer teorema dice: Si el sistema es consistente entonces P es indemostrable.
• Si el sistema es consistente y esta consistencia fuera demostrable, de la demostración del primer teorema se seguiría que se ha demostrado la afirmación P es indemostrable. Imposible. Luego, si el sistema es consistente, la consistencia no se puede demostrar dentro del sistema.
• Si el sistema fuera inconsistente, cualquier cosa se podría demostrar, inclusive que el sistema es consistente.

Sobre las interpretaciones poco rigurosas del teorema de incompletud describe Manuel Sacristán, respecto al teorema de Gödel que haya podido concebirse “en el siguiente sentido filosófico: la lógica es incapaz de formalizar la deducción necesaria para fundamentar definitivamente cualquier conocimiento de algún interés teórico.
Por este camino de interpretación cada vez más laxa y vaga del teorema de incompletud de Gödel, algunos filósofos han llegado a afirmar que el resultado de Gödel demuestra «el fracaso de la lógica» o hasta «el fracaso de la razón». Estas afirmaciones carecen de fundamento, como puede verse por las siguientes consideraciones.
En primer lugar, lo único que demuestra el teorema de Gödel es que resulta imposible conseguir un conjunto de axiomas y un juego de reglas de transformación que suministren todas las verdades formales expresables en el lenguaje de la lógica de predicados. [...]
En segundo lugar, el hecho de que la lógica misma haya descubierto y demostrado los límites o la inviabilidad de una realización universal del programa algorítmico, en su forma clásica, es más bien un éxito que un fracaso de la actividad capaz de tal resultado. El resultado mismo significa que el pensamiento racional puede saber cuáles de sus actividades son algoritmizables, ejecutables (en principio) mecánicamente, y cuáles no; cuáles son, como suele decirse, trabajo racional mecánico, y cuáles trabajo racional productivo. Fracaso del pensamiento es más bien la situación en la cual el pensamiento no sabe cuál es el alcance de su actividad, como suele ocurrir, dicho sea de paso, a muchos filósofos”. (Sacristán, M.:”Introducción a la lógica y al análisis formal”, Ariel, Barcelona 1973, p. 198-199).

Contactos con la lógica deductiva.

Las estructuras operatorias constituyentes del fenómeno perspectivo, aun siendo de naturaleza lógico-matemática, no son concebidas como tal en tanto que estructuras en el entender de los alumnos: son estructuras de acciones u operaciones que ciertamente dirigen el razonamiento a la construcción de las perspectivas, pero no constituyen un objeto de reflexión para él, ni de los fundamentos ni de los principios en que se basan. Por el contrario, la enseñanza de la geometría invita a los sujetos a una reflexión sobre las estructuras, pero lo hace por medio de un lenguaje técnico que implica un simbolismo muy particular y exige un grado más o menos alto de abstracción, refractario por otro lado al alumnado de enseñanzas artísticas.
Además, puesto que en una disciplina deductiva todo se relaciona, el fracaso o la incomprensión sobre tal o cual eslabón entraña una dificultad creciente en la continuación de los encadenamientos, de tal forma que el alumno en un punto no comprende y a continuación acaba desmotivándose. A menudo y reforzados por el entorno, acaban por bloquear una iniciación que pudo ser completamente diferente, de ahí que a larga nos inclinemos por los métodos basados en la experiencia, tan vanagloriados por su inexistencia en la geometría.

El obstáculo de la abstracción.

El problema central de la enseñanza de la perspectiva en la geometría consiste en ajustar recíprocamente las estructuras operatorias propias del nivel con el programa o los métodos relativos a los campos geométricos enseñados. Este problema se ha modificado profundamente en las últimas décadas a causa de las transformaciones de la misma geometría y del dibujo técnico; mediante un proceso en apariencia paradójico pero natural y muy explicable, las estructuras más abstractas y más generales de las matemáticas contemporáneas se incorporan a las estructuras didácticas del dibujo técnico y del pensamiento mucho mejor de lo que lo hacían los contenidos que constituían el armazón de la enseñanza de la geometría clásica.
A pesar del progreso de principio realizado por el retorno a las raíces naturales de las estructuras formales, subsiste enteramente el problema pedagógico de encontrar los métodos más adecuados para pasar de estas estructuras naturales pero no reflexivas a la reflexión sobre tales estructuras y a su teorización.
Aquí aparece el conflicto entre la manipulación operatoria de las estructuras y el lenguaje simbólico, que pueda permitir expresarlas. Las estructuras más generales de la geometría moderna son al mismo tiempo las más abstractas (proyectividad, homografía, correlación, inversión…), mientras que las mismas estructuras solo están representadas en el espíritu de los alumnos en forma de manipulaciones concretas, materiales o verbales. Por otra parte, el profesor no acostumbrado a la didáctica experimental puede temer en todo ejercicio concreto un obstáculo para la abstracción; por ello debemos estar habituados a distinguir cuidadosamente la abstracción a partir de los objetos (origen de la experiencia física, extraño a la geometría) y la abstracción a partir de las acciones, origen de la deducción y de la abstracción geométrica. No hay que creer, efectivamente, que una educación de la abstracción suponga un empleo prematuro del lenguaje y el simbolismo técnico únicamente, ya que la abstracción geométrica es, en los fundamentos, de naturaleza operatoria y procede genéticamente por etapas continuas a partir de las operaciones más concretas. Tampoco hay que confundir lo concreto con la experiencia física, que extrae sus conocimientos de los objetos y no de las acciones mismas del alumno, ni con las presentaciones intuitivas en el sentido de figurativas, ya que estas operaciones nacen de las acciones y no de configuraciones perceptivas o imaginadas.
La inversión de las relaciones entre la experimentación práctica y el análisis reflexivo está lejos de ser la única diferencia estructural que opone la construcción del conocimiento en el alumno. En el plano propiamente conceptual hay que señalar en el alumno particularidades notables igualmente de gran importancia desde el punto de vista de la práctica docente. Estas particularidades tienen que ver al menos con tres aspectos esenciales de la estructura lógica del pensamiento: los principios formales, la estructura de las clases o conceptos y la estructura de las relaciones.
En lo que respecta a este punto hay una verdad de observación de la que conviene partir: el alumno es reticente respecto a los métodos deductivos incorporados a la geometría descriptiva. El razonamiento formal, es a veces un escollo para deducciones sobre datos simplemente asumidos y no sobre verdades observadas. Por ejemplo, una de las dificultades de problemas ordinarios de geometría en los alumnos es atenerse a los términos del problema en lugar de recurrir a recuerdos concretos de la experiencia individual.
De una manera general, resulta difícil comprender la naturaleza hipotético-deductiva de los fundamentos perspectivos y no empírica de la verdad geométrica. En este punto hay que sorprenderse de que la pedagogía clásica imponga a los alumnos una forma de razonar que los griegos han conquistado en una gran lucha después de siglos de aritmética y geometría empíricas, y como ejemplo para este caso, la homología –de estudio referente en este trabajo-, que se deduce en el plano de forma deductiva en muchos tratados, no puede desarrollarse con profundidad por parte del alumnado sin tener una imagen práctica de su aplicación y generalización en el espacio; de ahí que un estudio de la misma basado en las construcciones planas esté condenada al olvido. En síntesis, lo que el alumno no descubre sin el razonamiento, tampoco lo descubrirá con él, pues es seguro que accede al conocimiento de la geometría desde la intuición por ser ésta la que genera el descubrimiento, mientras que el razonamiento lo utiliza como un medio de formalización.

Cohesión de los dos métodos

En Educación es usual que se hable de una enseñanza integral, como de la planificación e interacción de los dos métodos, considerándose para ello los intereses individuales de los alumnos, entre otros planteamientos. Sin embargo, en la práctica, esta postura teórica sólo queda en el discurso, aislando la experiencia que entrega una actividad, como sustento y base para el aprendizaje de estructuras superiores.
La experiencia y la observación sistemática en el interior del aula han permitido centrar la atención en el proceso evaluativo que se ha llevado a cabo. Éste, se realiza de manera rigurosa para que tenga la suficiente validez y confiabilidad, y para que los resultados permitan ser utilizados como base para una planificación de los aprendizajes que se deben desarrollar.
En especial el trabajo que se efectúa en la iniciación al estudio de este sistema de representación es realizado de manera general, no se presentan objetivos específicos que den cuenta de la importancia que tiene este aspecto en las estructuras cognitivas posteriores.
Si la perspectiva estudiada como método matemático en el proceso deductivo con el alumnado, no es contrastable con el espacio circundante de la experiencia habrá que incorporarla en sus métodos a las ciencias físicas para la experimentación –a una matemática logicista o intuicionista- ; así se podría desprender de lo que aduce Mario Bunge, en su distinción sobre las ciencias formales y empíricas: “La diferencia primera y más notable entre las varias ciencias es la que se presenta entre ciencias formales y ciencias factuales, o sea, entre las que estudian ideas y las que estudian hechos. La lógica y la matemática son ciencias formales: no se refieren a nada que se encuentre en la realidad y, por lo tanto, no pueden utilizar nuestros contactos con la realidad para convalidar sus fórmulas. La física y la psicología se encuentran en cambio entre las ciencias factuales: se refieren a hechos que se supone ocurren en el mundo y, consiguientemente, tienen que apelar a la experiencia para contrastar sus fórmulas”. (Bunge, M.: “La investigación científica”, Ariel, Barcelona 1976, 5ª ed., p. 38).

El recurso a las diferentes capacidades

Se observa en las actividades que, si bien apuntan a algunas habilidades específicas no están entrelazadas con otras, por cuanto la relación de complejidad y dificultad no está lo suficientemente delimitada. Por lo demás se trabajan prácticamente dos habilidades en la generalidad de los temas que se han desarrollado, tanto intuitivo-experimentales como deductivos, con diferentes tipos de dependencia metodológica.
Parece que hay diferencias significativas en las observaciones hechas en este terreno. El problema se presenta en la cuantificación de las diferentes variaciones, que no cuentan con un instrumento adecuado para ello y el desconocimiento para examinar cada una de las habilidades conectadas con la iniciación al desarrollo geométrico de este aprendizaje.
De lo anteriormente descrito, se presenta la necesidad de crear un instrumento de evaluación por criterio que puede dar cuenta del estado en que se encuentran las habilidades básicas intervinientes en la iniciación al método de enseñanza de la perspectiva. De manera que se esté en condiciones de aplicarlo, registrar las respuestas y por último obtener un perfil de cada alumno respecto al estado de las habilidades examinadas. Esto contribuye a obtener un diagnóstico válido y confiable que aporta antecedentes objetivos y significativos para implementar los programas de intervención más adecuados a la realidad y necesidades de los alumnos.

Experimentación práctica versus análisis reflexivo

Se ha considerado que muchos de los fracasos en el sector de la geometría, se podrían evitar si la enseñanza contribuyera desde sus métodos, en forma efectiva, a fortalecer las habilidades y destrezas que los alumnos requieren para un buen aprendizaje en el sector geométrico que tuvieran deficiencias.
Una evaluación del pensamiento intuitivo versus lógico-matemático permitiría probablemente revertir los fracasos en este sector, si se introdujeran a tiempo programas de reforzamiento o de carácter corrector, por parte del profesor en pro de una mejor transmisión del conocimiento.
Se ha insistido cada vez mas en el curso de los últimos años en la enseñanza de la geometría y del dibujo técnico, sobre la laguna fundamental de la mayor parte de nuestros métodos de enseñanza que, en una civilización basada en gran parte sobre las ciencias de la deducción, rechazan casi totalmente la formación del espíritu basado en experiencias de los alumnos.
Tiene cierto interés, por tanto, examinar lo que la didáctica ha podido enseñarnos en estos últimos años sobre el papel de la experiencia adquirida en la formación de los conocimientos y sobre el desarrollo de la experimentación espontánea.
Hoy sabemos que la experiencia es necesaria para el desarrollo de los conocimientos, pero no suficiente y, sobre todo, que se presenta bajo dos formas muy diversas que el empirismo clásico no había diferenciado: por un lado la intuición, la experiencia física, y el acceso a un conocimiento sintético y por otro lado el análisis lógico-matemático con un proceso deductivo. Establecer una dicotomía puede no siempre resultar en exceso radical, ya que en los dos grupos hay elementos bien diferenciados, no obstante se trata de descubrir las ventajas de un método teórico o práctico aplicado al tema que nos ocupa.
La experiencia geométrica con la perspectiva consiste en obrar sobre los objetos y descubrir propiedades a partir de la observación real en la naturaleza del fenómeno perspectivo como elemento físico; por el contrario en la abstracción no se parte de estos mismos objetos naturales sino que establecemos unas pautas para la construcción del fenómeno.
Con las pruebas aplicadas al alumnado observamos que, por ejemplo, al sopesarlos, los más abstractos no son siempre los más difíciles de entender –acaso por su concepción sintética y estructura perfectamente intrincada.
La experiencia geométrica (indispensable en los niveles en que aún no es posible la deducción en las construcciones perspectivas) consiste igualmente en obrar sobre los objetos, pero descubriendo propiedades por abstracción a partir no de los objetos como tales, sino de las acciones de experimentación mismas que se ejercen sobre estos objetos; por ejemplo, construir formas en perspectiva y descubrir que su configuración es la misma tanto si se procede de una forma deductiva o analítica, exclusivamente operada con el entendimiento como la derivada de las prácticas experimentales, con la excepcionalidad de lo establecido por convención, como si se procede construyendo desde la observación.

La aplicación de las pruebas al alumnado.

Con el fin de reconocer el nivel de competencias que tienen los alumnos en la perspectiva, se propuso idear un instrumento de evaluación que permitiera recabar datos correspondientes al desempeño de los mismos, en aquellas habilidades cognitivas que estarían vinculadas posteriormente con el sector de la geometría.
La evaluación de estas habilidades básicas comprometidas, permitió determinar el nivel de entrada que el alumno tiene para realizar ciertas tareas, que contribuyan paulatinamente a facilitar el aprendizaje y el logro de operaciones mentales relacionadas con el inicio del dibujo, preparándolo para su mejor desempeño en el nivel de enseñanza artísticas.
En la medida que sea posible reconocer exactamente cuáles son las habilidades que el alumno no ha logrado desarrollar, se facilita más el proceso de planificación de la enseñanza aprendizaje, como también la selección de los estímulos y experiencias según las necesidades de aquéllos.
El modelo que se ha elaborado pretende determinar la capacidad de comprensión del alumno, como también interpretar los resultados en torno a una norma o buscar una explicación subyacente a la deficiencia detectada en cada caso, permite precisar cuál de las habilidades presenta una debilidad para el sujeto en particular.
De esta forma se pudo graduar la actividad, el método y los materiales utilizados para estimular y propiciar el logro del aprendizaje y el fortalecimiento de la habilidad en cuestión.
El modelo basado en las dos pruebas: intuicionista / formalista, ha permitido hacer un diagnóstico específico de las habilidades básicas para la iniciación a la enseñanza de los métodos de la perspectiva, de posible aplicación en estas enseñanzas superiores de artes.
Esto nos permitió orientar al profesor en cuanto a las diferencias individuales del grupo de alumnos sometido a los distintos métodos.
La evaluación de estas pruebas nos ha permitido obtener un perfil de logros, que nos otorga un referente para iniciar el programa de intervención en forma adecuada a las diferencias individuales.

Incorporación de nuevos lenguajes y de materiales de ayuda para la comprensión de la perspectiva.

En la enseñanza de la geometría se han revisado los programas y su didáctica bajo el efecto de distintas clases de causas, unas veces convergentes y otras independientes. La primera de estas razones es la evolución interna de las disciplinas enseñadas: la geometría, por ejemplo, ha sufrido desde hace años una profunda reforma hasta el punto de que su mismo lenguaje se ha visto alterado; es normal, por tanto, que se intente adaptar a los alumnos, desde las primeras clases, a un mundo nuevo de conceptos que de otra manera podrían serles extraños para siempre. La segunda razón es la aparición de nuevos procedimientos didácticos: el aprendizaje de la perspectiva, por ejemplo, ha dado lugar a la utilización de nuevos materiales concretos, como los informáticos.
Estas dos clases de razones pueden llegar a converger, lo que no ocurre necesariamente, y así puede darse el caso de esfuerzos por enseñar la geometría más moderna por medio de los métodos más tradicionales sin intentar extraer la relación existente entre las estructuras geométricas descubiertas y las estructuras operatorias espontáneamente construidas en el curso del desarrollo de programas informáticos.

Las preferencias de un hemisferio cerebral en la intuición espacial.

Estudios sobre la forma en que piensan y actúan las personas han establecido que los hemisferios cerebrales tienen labores diferentes pero complementarias, mientras el hemisferio izquierdo es lógico y se encarga del lenguaje, el derecho es creativo, intuitivo y sensible.
- Izquierdo- Interesado en partes componentes; detecta características.
Analítico. Proceso secuencial, proceso serial. Temporal. Verbal: Codificación y decodificación del habla, matemáticas y notación musical.
- Derecho- Interesado en conjuntos y gestalts; integra partes componentes y las organiza en un todo, en las relaciones, es constructivo, busca pautas. Proceso simultáneo, proceso paralelo. Espacial. Viso-espacial, musical.
El sistema educativo se ha basado hasta ahora en el desarrollo sistemático del hemisferio izquierdo, dejando de lado las capacidades que pueden ser desarrolladas desde el hemisferio derecho, y, más aún, apartando a aquellos estudiantes que preponderantemente basan sus capacidades de aprendizaje en este hemisferio. Esto ha hecho que se infravalue y discrimine a muchos alumnos, que al no adaptarse al sistema de enseñanza, han perdido la posibilidad de continuar sus estudios.
El trabajo de la intuición espacial permite un desarrollo más equilibrado del estudiante, en especial por que se posibilita a una parte de los alumnos y alumnas a conseguir las capacidades terminales, sin pasar necesaria y únicamente por el eje de la lógica y el razonamiento.
La intuición espacial no es un contenido a ser trabajado sólo por el área de la geometría, si no que debe ser abordado interdisciplinarmente con otras áreas.

Entre los diferentes términos que se relacionan con la intuición espacial y los enfoques que se le pueden dar, adoptaremos como definición:
- Una percepción intuitiva de nuestro entorno y de los objetos que hay en él.
- Podemos concretarla con una frase: El control de cualquier situación (espacial o problemática) desde la mente.
- La mente humana trabaja básicamente con imágenes, éstas se originan por percepción sensorial (vista, oído, tacto, gusto y olfato) y son la base para movernos en el espacio y resolver problemas.
- El desarrollo de la capacidad de percepción mediante actividades convenientemente seleccionadas, permite al estudiante tener una mejor representación de la realidad que a su vez puede ser mejorada trabajando las imágenes mentales que tenga.
- Actividades de orientación en su entorno y/o fuera de él, posibilitan al alumno o alumna adquirir la capacidad de moverse en diferentes circunstancias y lugares.
- Existen recursos que pueden ser utilizados en clase para mejorar la intuición y percepción: pasar del plano al espacio, vistas, composición-descomposición, juegos visuales.
- En la Geometría especialmente pueden tratarse casi la totalidad de los contenidos, a través de la intuición espacial.

Valoración del proceso.

Los resultados obtenidos para valorar el grado de satisfacción tanto de los estudiantes como de los profesores son en general altos. No obstante, en la valoración de cada una de las distintas fases, se observan diferencias que nos indican las principales dificultades encontradas en los dos colectivos.
Fundamentalmente estas dificultades están relacionadas con la participación del estudiante en las distintas fases, debidas a la novedad del sistema, y la dificultad del profesorado para adaptarse a su nuevo rol ambivalente respecto a los dos métodos en el proceso de aprendizaje.

Integración Teoría – Práctica.

La integración la planteamos a partir de la siguiente secuencia temporal:
1. - Proceso de enseñanza - aprendizaje (teoría para la práctica).
2. -Entrenamiento teórico - práctico en forma de experiencias –desde inductivas a deductivas- para la adquisición de habilidades y destrezas, y
3. - Ejecución de distintas prácticas.
Así definimos el marco de la innovación sobre la base de la transición desde una organización docente con prácticas fragmentadas, hacia una organización docente con prácticas reflexivas e integradas.

Contenidos.

El contenido del trabajo está organizado en dos temas programáticos consecutivos y correlativos según el nivel de abstracción: contenidos intuitivos para la perspectiva cónica y otros más formalistas para la g. proyectiva como fundamento de la perspectiva cónica. Cada tema tiene una estructura autónoma en cuanto a su planteamiento teórico, con fuentes de información, evaluación e instrumentos aunque están íntimamente entrelazadas. La adquisición de conocimientos se puede obtener de forma secuencial, dentro de un mismo tema o por medio de una relación transversal de los mismos.
La dinámica del programa está pensada para alternar las sesiones teóricas, apoyadas con medios informáticos; con las prácticas de dibujo la búsqueda de información digital o en la biblioteca. El desarrollo del trabajo práctico está estructurado en las siguientes etapas: preparación de la práctica del dibujo; práctica demostrativa a grupos reducidos; ejecución real de la práctica por parte del alumno con el ordenador mediante la utilización de los programas AutoCAD y 3Ds Max y con dibujos en el encerado y maquetas de papel realizadas in situ por el profesor o alumnado.

Una metodología heurística según los contenidos:

El estudio de estrategias y métodos de enseñanza-aprendizaje se ha basado en una revisión bibliográfica de las técnicas pedagógicas en disciplinas con un gran componente práctico y donde el estudiante ha sido el elemento motor de su propio desarrollo. Esto es, que “aprenda a aprender”, con ello se ha pretendido que el estudiante continúe su educación sin necesidad de guía.
Para la optimación metodológica, las enseñanzas deben englobar tanto el nivel cognitivo, como el nivel afectivo y psicomotor del estudiante ya que todos ellos intervienen en cualquier tipo de aprendizaje.
Los métodos necesarios a través de los que se puede conseguir, necesitan ser desarrollados y evaluados hasta que sean completamente efectivos. Estos métodos requieren una visión más abierta y menos formal de la enseñanza, en la que se ha hecho énfasis sobre todo en la ayuda al estudiante para que desarrolle formas científicas de pensamiento.
El objetivo general en el diseño de las materias, sus contenidos y metodología, es que estos ayuden al estudiante a aprender, pensar y que puedan dotarles de un cuerpo de conocimientos a partir del cual puedan avanzar por sí mismos. La forma más óptima de lograr estos objetivos es hacer partícipes a los estudiantes en su elaboración para que de esta forma conozcan lo que se espera de ellos y sean capaces de autoevaluar la consecución de sus metas.
El resultado del aprendizaje se facilita cuando éste es activo, “aprender haciendo”. El estudiante aprende mucho más si está involucrado de manera activa en su aprendizaje.
Para ello, el profesor ha guiado al estudiante en el proceso de aprendizaje teniendo en cuenta que no hay una vía universal de aprender, para lo cual ha prestado especial atención a las habilidades del estudiante y a su forma de estudiar. Dado que las tareas de los diferentes contenidos requieren distintas técnicas de aprendizaje, estas se acomodarán a las exigencias del programa educativo, utilizando la técnica apropiada tanto para cada tema como para el propio estudiante.

El protagonismo del alumnado:

El objetivo específico de la innovación metodológica docente que proponemos es la formación integral del alumno capacitándolo para la resolución de hipótesis experimentales en el campo de la perspectiva, p. central, etc. A partir de un planteamiento de problemas reales y casos prácticos, el alumno ha de ser capaz de escoger unas opciones:
- Usando conocimientos teóricos adquiridos progresivamente,
- Diseñando planes de intervención o tratamiento que llevan a la solución de problemas,
- Elaborando conclusiones razonables.
De este modo, el alumno pasa a ser protagonista activo del proceso de aprendizaje, resolviendo situaciones similares a las que se enfrenta un profesional del dibujo/ diseño.

Necesidades prácticas e interdisciplinares:

Fundamentalmente este programa presenta las siguientes características:
- Un aprendizaje centrado en las necesidades educativas del estudiante.
El alumno participa activamente en el proceso de aprendizaje consiguiéndose así un mayor desarrollo de sus capacidades de razonamiento, de autoaprendizaje y de evaluación.
- Un aprendizaje basado en la práctica, que permite al estudiante la adquisición de las competencias que requiere el ejercicio de su futura profesión.
- Un aprendizaje multidisciplinar, que integra los dos métodos estudiados.

Metodología específica para la ejecución de ejercicios:

Fase intuitiva y experimental.- La finalidad de esta primera fase es ayudar al alumno en el análisis y proceso que debe seguir para alcanzar el grupo de objetivos propuesto en cada una de las diferentes materias. Esta fase presenta las siguientes etapas:
1- Clarificar la problemática y cada uno de los términos enunciados en los objetivos propuestos.
2- Elaborar la lista de los distintos fenómenos o elementos a explicar.
3- Debatir y concretar los recursos de aprendizaje que se han de utilizar para cada uno de los distintos objetivos.
Del desarrollo heurístico al proceso deductivo- Período de autoaprendizaje. En esta fase el alumno trabaja, de forma individual o en grupo, cada uno de los distintos objetivos propuestos en cada asignatura, siguiendo las especificaciones propuestas en la fase intuitiva.
En esta fase los alumnos trabajan en grupos de quince alumnos, junto con el profesor de la materia.
Esta fase presenta las siguientes etapas:
1- Puesta en común de los conocimientos adquiridos por el alumno para alcanzar cada uno de los distintos objetivos propuestos en cada bloque de las distintas materias.
2- Debatir y organizar las explicaciones propuestas, con el fin de producir una descripción coherente de los mecanismos que originan los distintos fenómenos.
3- Realizar las distintas actividades complementarias (prácticas, resolución de problemas, cuestiones,...) de los distintos objetivos.
Fase de autoaprendizajes tutelados. Nuevo período de autoaprendizaje; el alumno tiene a su disposición al profesorado y puede solicitar cuantas tutorías o actividades complementarias considere necesarias, para la total comprensión de los objetivos fijados en cada apartado estudiado.
Fase de evaluación. Al finalizar cada apartado de objetivos, y de forma sistemática, se lleva a cabo una evaluación conjunta del mismo.
En todos los contenidos el alumno dispone de los recursos que se consideran básicos para alcanzar los distintos objetivos. Además dispone de una oferta de actividades prácticas complementarias con la tutela del profesor.

Estrategias para facilitar la reflexión y la comprensión en los trabajos prácticos.

Estas estrategias están basadas en la “teoría de la pregunta” (combinación del razonamiento y la acción) de Dewey, desarrollada posteriormente por Schön con la introducción del concepto de reflexión como elemento, que transforma la experiencia en aprendizaje.
Casos prácticos:
Los casos se han utilizado en el aprendizaje por problemas. Como método de enseñanza, el estudio de casos hace partícipe de forma activa al estudiante buscando información, resolviendo el problema y tomando decisiones que pueden ser aplicadas a problemas reales de la perspectiva.
Se forman pequeños grupos tutorizados que trabajan sobre un modelo perspectivo. El grupo debe usar el proceso de identificación, solución y análisis del problema, lo que obliga al estudiante a poner a prueba su capacidad de razonamiento y análisis.
Para aumentar la complejidad de la práctica, se ha pedido al estudiante que explique el caso tratado. Esta estrategia permite que el estudiante, desde la perspectiva de la asignatura, integre y aplique los conocimientos en los diferentes ejercicios.
Elaboración de mapas conceptuales:
Puede ser utilizada para identificar la estructura de los conocimientos, organizar o presentar información y evaluar el progreso o cambio en la adquisición de conocimientos.
Es una técnica gráfica que puede utilizar el docente para conocer cómo los estudiantes “construyen lo que ya saben”, desarrollando un papel activo. Se les pide que organicen en una ilustración, los conceptos aprendidos y establezcan las relaciones entre ellos desde una idea general hacia ideas específicas.

Resultados:

- Valoración pedagógica: El modelo de aprendizaje pasa de ser un sistema pasivo, de clases tradicionales de tipo convencional, a un sistema activo. La cantidad de información adquirida se reduce, pero en beneficio de una mejor formación del alumno, más global e integradora de la materia.
- Valoración de la adquisición habilidades prácticas: aumenta la autonomía del alumno para llevar a cabo un modelo experimental bipolar. Las prácticas son más integradoras, ya que al realizarse al final de cada tema permiten utilizar los conocimientos teóricos previamente adquiridos.
- Grado de aceptación de la metodología docente y de cada una de las herramientas que componen el programa: la conclusión que se extrae del estudio de las respuestas es que la mayoría de alumnos valoran de forma muy positiva el primer modelo docente integrado en unos presupuestos básicos más intuitivos.

Conclusiones.

Podemos concluir que el resultado de esta propuesta metodológica demuestra que el sistema mejora la formación, adquiriendo una mayor capacidad de resolución de problemas, mejora el rendimiento académico en estos temas y aumenta la disposición del alumnado por la propuesta metodológica.
La continuidad y la mejora en el campo de la innovación metodológica docente pasa por:
- Un reconocimiento de la actividad de Investigación en el alumnado, apoyando las estrategias de investigación sobre incorporación de nuevas tecnologías de la comunicación a la enseñanza.
- El establecimiento de una interacción con el alumnado que favorezca el intercambio de conocimientos, metodología y recursos.
- Optimizar el proceso de enseñanza aprendizaje con la mejora de las propuestas en los métodos que conforman un programa de este tipo.
Las nuevas tendencias metodológicas en la enseñanza superior buscan la participación activa de los estudiantes en su proceso de aprendizaje. Esto conlleva que el profesorado lleve a la práctica nuevas estrategias de enseñanza, que le van a exigir una renovación y enfrentarse a nuevos retos en su tarea como docente.
Por otra parte, el estudiante que accede a los estudios superiores tiene que aceptar tener una mayor responsabilidad e implicación. La participación activa en su formación implica aprender nuevas habilidades para aprender de una forma independiente y con efectividad.
Como solución acordamos, tras la experimentación en los ejercicios perspectivos y con la extrapolación a otros temas geométricos:
a) Conducir desde la heurística al alumno a formar las nociones y descubrir por sí mismo las relaciones y las propiedades geométricas más que imponerle un pensamiento ya hecho.
b) Asegurar la adquisición de las nociones y de los procesos operatorios antes de introducir el formalismo;
c) No confiar al automatismo y a la formalización más que las operaciones asimiladas y bien fundamentadas.
d) Hacer adquirir al alumno, en primer lugar, la experiencia de los entes y relaciones geométricas e iniciarle después en el razonamiento deductivo;
e) Extender progresivamente la construcción deductiva en la geometría, conjugándolo con la práctica;
f) Enseñar a plantear los problemas, a buscar los datos, a aprovecharlos y a apreciar los resultados;
g) Dar preferencia a la investigación heurística de los problemas antes que a la exposición doctrinal de los teoremas.









Anejo I: La perspectiva cónica y su enfoque intuitivo.

La perspectiva cónica es la representación de una figura sobre un plano proyectada desde un punto propio, pudiendo conseguirse una imagen similar a una fotografía realizada desde el punto de vista v.
Para conseguir realizar esta representación contamos con unos elementos fundamentales para la proyección, y unos elementos auxiliares o de referencia. Estos son sus elementos fundamentales:
El punto de vista V, vértice de la perspectiva, corresponde al ojo del observador.
El plano del cuadro o PC, corresponde al plano del papel.
Elementos auxiliares o de referencia:
Plano horizontal, plano del horizonte u horizonte del observador: ph es el plano horizontal que pasa por el ojo del observador.
Plano geometral. PG. Es un plano paralelo al plano del horizonte. su posición es arbitraria, pero solemos hacerlo coincidir con la base de los cuerpos que representamos (que suele ser horizontal).
Plano de desvanecimiento: PD. Es el plano paralelo al cuadro, que pasa por v. ya que no podemos ver por detrás de nuestra cabeza, divide el espacio en dos semiespacios. El semiespacio visible es el que contiene al cuadro.
Línea del horizonte h o LH, es la intersección del cuadro con el plano del horizonte.
Línea de tierra: LT. Es la intersección del cuadro con el plano geometral.
Línea de desvanecimiento: LD. Es la intersección del plano de desvanecimiento con el plano geometral.
Referencias en el papel: línea de tierra- LT, línea del horizonte- LH, punto principal- P y el círculo de distancia- CD, definido por el centro P y el radio PV, que se suele sustituir por los dos puntos de distancia o por uno de ellos.


El punto.

Para representar un punto a del espacio lo primero que hacemos es proyectarlo ortogonalmente sobre el plano geometral en a1, y a continuación proyectamos ambos (a y a1) desde v sobre el p.c. obteniendo a’ y a’1. a’ recibe el nombre de proyección directa o perspectiva del punto a, y a’1 proyección horizontal.
Las dos proyecciones del punto (a’ y a’1) están en una perpendicular a h.
Las distintas posiciones del punto las obtenemos en:
A: punto situado por encima del plano geometral.
B: punto situado por debajo del plano geometral.
C: punto situado en el p.c. por encima del pg.
D: punto situado detrás del p.c.
E: punto situado entre el p.c. y el plano de desvanecimiento, sobre el PG.
F: un punto situado en el plano de desvanecimiento no lo podemos representar.
G: los puntos situados detrás del plano de desvanecimiento invierten la relación entre la proyección directa y la proyección horizontal, y aunque en geometría podemos representarlos, en la práctica no lo hacemos ya que no podemos ver por detrás de nuestra cabeza.


La recta.

La representación de la recta también tiene dos proyecciones, la proyección directa r’ y la proyección horizontal r’1. Los puntos singulares de la recta van a ser sus trazas con el p.c. (tr y tr1) y con el plano geometral (g’r y g’r1) y su punto límite o punto de fuga (f’r y f’r1).
Recta genérica

Rectas singulares.
Rectas horizontales:
son paralelas al plano geometral y se caracterizan por fugar en la línea del horizonte. pueden ser:
las rectas a, b, y c, son normales al cuadro por lo que tienen su punto límite en el punto principal p, estando a en el p.geometral, y b y c encima y debajo del geometral respectivamente.
la recta s tiene sus dos proyecciones s’-s’1 paralelas a h, por lo que su punto límite está en el punto impropio de h, al igual que su traza con el plano geometral.

la recta n’-n’1 forma 45º con el cuadro y tiene su punto límite en el cd.

la recta a es horizontal y ortogonal al PC y su punto límite está en la línea del horizonte y en P.


Rectas frontales:
Son rectas paralelas al cuadro. se caracterizan porque su proyección horizontal es paralela a t.
la recta a es paralela al cuadro y vertical.
la recta b está situada en el geometral.
la recta c está situada detrás del cuadro.
la recta d está situada en el cuadro.
la recta e está situada delante del cuadro. 5

Otras rectas particulares:
Como rectas particulares mencionar:
las rectas que forman 45º con el cuadro y por lo tanto su punto límite es un punto del cd (círculo de distancia).

las rectas cuya traza con el geometral está en el plano de desvanecimiento (sobre la línea de desvanecimiento), que tienen la peculiaridad de que sus proyecciones son paralelas.

El plano.

Igual que en el sistema diédrico, en perspectiva cónica un plano se representa por sus trazas con:
el plano del cuadro o simplemente traza (equivalente a la traza con el plano vertical en diédrico) y
el plano geometral (equivalente a la traza con el plano horizontal también en diédrico).
Pero en perspectiva cónica un plano también puede quedar definido por una de estas trazas y la recta límite del plano (por tratarse de una proyección central).
La recta límite de un plano tiene la particularidad de ser paralela a la traza del mismo.



Pertenencia de recta a plano:
Como en cualquier sistema de representación, para que una recta pertenezca a un plano, las trazas de la recta deben estar contenidas en la s trazas del plano. En perspectiva cónica se cumple además que el punto límite de la recta debe estar contenido en la recta límite del plano.


Pertenencia de punto a plano:
Como en cualquier sistema de representación, para que un punto pertenezca a un plano debemos poder trazar por el punto una recta del plano. Fig. anterior.

Diversas posiciones del plano:
Plano vertical: son planos perpendicularesal plano geometral, por lo tanto su traza con el cuadro será perpendiculara la línea de tierra y del horizonte. 6

Plano perpendicular al plano del cuadro:

Plano vertical, plano de canto, plano horizontal:
Son planos que su recta límite pasa por p.
Plano paralelo al plano del cuadro: son planos que su traza con el plano geometral es paralela a las líneas de tierra y del horizonte.

Plano que forma 45º con el cuadro: su recta límite serán tangente al círculo de distancia.

Plano que forma un ángulo dado con el cuadro: su recta límite pasará por el punto de corte de h con el círculo de distancia correspondiente a dicho ángulo.

Plano horizontal: son planos cuya recta límite coincide con h.


Intersección de planos.
La intersección de dos planos es una recta que quedará definida por sus trazas con el cuadro y con el geometral. dichos puntos se encuentran en las intersecciones de las trazas de ambos planos con el cuadro y con el geometral respectivamente. además se tiene que cumplir que el punto límite de la recta intersección de ambos planos coincida con la intersección de las rectas límite.


Recta intersecada con plano.
Para obtener la intersección de una recta y un plano trazamos un plano auxiliar que contenga a la recta, a continuación obtenemos la recta intersección de los dos planos, que cortará a la recta dada en el punto de intersección buscado.
Intersección de recta y plano


Paralelismo.
La condición de paralelismo es que los elementos límite coincidan.
Dos rectas serán paralelas si tienen el mismo punto límite.
Dos planos serán paralelos si tienen la misma recta límite.
Una recta será paralela a un plano si el punto límite de la recta está contenido en la recta límite del plano.
Plano paralelo al PC
Rectas paralelas a planos

Plano paralelo a p. geometral

Planos paralelos oblicuos

Recta paralela a un plano
Rectas paralelas


Perpendicularidad.
Dos elementos son perpendiculares si sus elementos límites se corresponden en la antipolaridad respecto al círculo de distancia. Un elemento límite es el polo y el otro forma parte de la antipolar de ese polo.

Una recta b es perpendicular a un plano si su punto límite coincide con el punto límite de todas las perpendiculares al plano.
Un plano será perpendicular a otro plano dado si su recta límite pasa por el punto límite de las perpendiculares a dicho plano.

Abatimientos:

Abatimiento de planos.
Siempre que abatimos un plano, lo hacemos sobre otro que esté en verdadera magnitud, así que en perspectiva cónica los abatimientos se harán siempre sobre el plano del cuadro. la charnela de un abatimiento es la intersección del plano que abatimos con el plano sobre el que abatimos, y por lo tanto siempre será la traza del plano con el pc.
Abatimiento del p. geometral por homología.

Recordemos que un plano se puede abatir hacia cualquiera de los dos lados, produciéndose resultados simétricos respecto a la charnela.
El procedimiento para abatir un plano siempre es el mismo:
Abatiremos los dos planos en el mismo sentido, el primero es el plano que queremos abatir, y el segundo un plano paralelo al anterior pero pasando por el vértice de la perspectiva.
También es posible abatir el plano ortogonal al PC incidente en P con la charnela en P(V), para poder verlo en su perfil.



División en partes iguales:
Para dividir un segmento en partes iguales utilizamos el teorema de Thales (proyectado en la perspectiva). Si cogemos para la división un punto métrico, su proyección desde él sobre la línea de tierra, define la medida real de los segmentos.



Distancia entre dos puntos.
Trazaremos el triángulo rectángulo que sabemos que existe en el espacio, y podremos medir en la hipotenusa de dicho triángulo.

Métodos:

Método directo
Este método es el más intuitivo, sin embargo cuando los datos los conocemos a una escala más pequeña que la del resultado, el error acumulado es muy grande, por lo que no resulta un método adecuado.




Método de trazas y puntos de fuga
Es el método más rápido cuando contamos con grupos de rectas paralelas, aunque ocupa demasiado espacio.


Podemos colocar la planta sobre el horizonte, y hacer uso de la intersección de los planos proyectantes con el PC, tenemos entonces:

El método del arquitecto.
Combina los dos métodos anteriores.



Método de puntos de fuga y puntos de medida.
Cuando no podemos utilizar el método de las trazas porque éstas no caben en el papel, lo mas acertado es utilizar este método.
También se utiliza cuando conocemos un croquis acotado de la figura, pero que no está a escala, y por lo tanto no podemos medir en él.



Método de coordenadas.
Este método está especialmente indicado para los casos en que las direcciones principales de la figura son paralelas y perpendiculares al PC, tomándose las medidas sobre la LT.

Método del abatimiento del geometral.
Utilizaremos este método cuando conozcamos la figura en diédrico o planos acotados (en un soporte transparente), y la planta esté a la misma escala a la que debemos realizar la perspectiva, y estemos realizando nuestra perspectiva en un soporte transparente.
Hay que prestar especial cuidado con la posición de la figura abatida de la planta ya que dependiendo del lado hacia el que hayamos abatido el p. geometral, la planta abatida estará al derecho o al revés (es decir simétrica de la realidad).



Método de los datos reducidos.
Este método es el más largo de todos los anteriores y sólo se utiliza en el caso de que los puntos de fuga se encuentren fuera de los límites del papel. Para determinar fugas fuera del papel se puede aplicar una homotecia cuyo centro sea el punto de fuga buscado.



Perspectiva de cuadro inclinado.
Se produce cuando el PG no es ortogonal al PC. Las líneas verticales concurren en un punto de fuga que se obtiene al trazar una paralela por V.

Una forma inmediata de determinar el vértice superior del cono es unirlo con V en el perfil y luego proyectarlo mediante una horizontal hasta que corte al eje de revolución del cono.

Considerar el perfil o nuevas proyecciones facilita la construcción de la perspectiva de cuadro inclinado.

Se abaten los planos PG y PH en los sentidos que muestra la figura y el perfil por el eje: Fd - Td

En el caso siguiente la p. cónica tiene tres puntos de fuga y se muestra la proyección ortogonal del prisma (con la base naranja).
Obsérvese que:
Proyección ortogonal: Los puntos perspectivos A’ y A están alineados con P en la representación en perspectiva, ya que P es la proyección ortogonal de V sobre el PC.
Proyección cónica: los puntos (C) C’ están alineados con (V) –teorema de Steiner- en su representación plana en perspectiva.
Proyección cónica en el espacio: los puntos C C’ están alineados con V en el espacio, por ser un caso genérico de homología espacial.
Proyección cónica en el espacio



Proyección cónica. Representación plana en perspectiva



Reflejos.
Cuando un elemento se refleja en una superficie de espejo, el efecto óptico que se produce permite ver su simétrico con respecto a la superficie reflectante.
Para representar el reflejo tendremos que trazar rectas perpendiculares a la superficie reflectante desde todos los puntos del elemento y localizar en dichas rectas a igual distancia el reflejo.

Sombras.
La sombra de un punto queda definida por las proyecciones de ese punto desde el foco de luz, sea puntual o distante. Si es distante todos los triángulos son proporcionales, por lo tanto existen dos puntos de fuga, los correspondientes a las direcciones d y d2 proyección de la luz sobre el PG y dirección de la luz por el espacio, respectivamente.


Ángulo de las direcciones.
El ángulo que forma el rayo de luz con el suelo es b, se puede obtener en verdadera magnitud mediante el giro de VF2 respecto al eje de giro F1F2. La sombra de un punto queda definida por las proyecciones de ese punto desde el foco de luz, sea puntual o distante.
El ángulo que forma el rayo de luz con el PC es a, y se obtiene su verdadera magnitud mediante el giro de VF2 respecto al eje P F2.



El sol detrás del observador.
Como las direcciones sobre el PG son horizontales y paralelas fugan sobre el horizonte: F2. Como los rayos del sol son líneas oblicuas que se cortan con las proyecciones de los rayos sobre el suelo, son ambas líneas incidentes en planos verticales, cuya recta límite o “de horizonte” es obviamente vertical, de lo cual se desprende que F2F3 están alineados en una vertical. Como en la luz distante –solar- la sombra de un segmento horizontal AB (la que une los extremos de los segmentos verticales), es paralela al mismo, ls y l se cortan en F sobre el horizonte.


El sol delante del observador.
En este caso las fugas horizontales inciden sobre la proyección ortogonal del sol sobre el horizonte.










Anejo II: La metodología didáctica inductiva y deductiva en la perspectiva cónica.

Proyección
Proyectar equivale a trazar todas las rectas o rayos proyectantes que cumplen cierta condición o ley. La condición más normal exige que todos esos rayos pasen por un punto, al que se conoce como centro de proyección. Cuando el centro de proyección es propio, se denomina proyección central o cónica, mientras que si el centro es impropio, proyección paralela o cilíndrica. Si en este último caso se verifica que los rayos proyectantes son perpendiculares al plano de proyección, hablamos de proyección cilíndrica ortogonal respecto a dicho plano.

Sección
Seccionar equivale a cortar, a obtener la intersección entre dos formas incidentes (es decir, las partes que tengan en común)
Existen tres tipos de secciones básicas a obtener:
-Sección de una recta por otra, con lo que obtenemos un punto
-Sección de una recta por un plano, cono lo que obtenemos un punto
-Sección de dos planos entre si, obteniendo una recta
De aquí se deducen los casos de sección para formas geométricas más complejas, como radiaciones de rectas y planos.

Transformaciones geométricas
Transformación geométrica es la operación que permite deducir una nueva figura de otra dada.

Elementos de una transformación geométrica
Se llaman elementos característicos de una transformación aquellos que nos definen todas las correspondencias entre la figura original y la transformada.
Se llaman elementos dobles de una transformación aquellos que se transforman en si mismos.
Se llama producto de transformaciones la transformación obtenida por la aplicación sucesiva a una figura geométrica de dos o más transformaciones, en un determinado orden.

Homografía
Se denomina homografía a cualquier transformación proyectiva que establece una correspondencia entre dos formas geométricas, de modo que a un elemento, punto o recta, de una de ellas le corresponde otro elemento de la misma especie, punto o recta de la otra.
Figuras de 1ª categoría transformables unas a partir de otras por una sucesión de proyecciones y secciones.

Perspectividad:
Método para pasar de unos puntos a otros (transformación), al asociar puntos entre dos rectas desde un centro exterior.
Dos formas de 1ª categoría de igual naturaleza son perspectivas si son secciones o proyecciones de una misma figura:
2 series rectilíneas,
Secciones de una haz de rectas desde V,
2 haces de rectas de V V’, proyecciones ambas de la misma serie.
2 haces de rectas desde V.

Producto de transformaciones:
Transformación resultante de aplicar otras transformaciones.

Proyectividad:
Producto de perspectividades. Formas que se corresponden en una aplicación biyectiva conservando la razón doble entre 4 puntos cualesquiera de ellos.
Tipos:
Homografía: correspondencia entre elementos de la misma naturaleza.
Correlación: correspondencia entre puntos y rectas.
Involución: correspondencia doble entre un par de elementos.

Homología
Es una transformación homográfica resultante de efectuar una proyección desde un punto, en la que a cada uno de los puntos y de las rectas de una figura plana le corresponden, respectivamente, un punto y una recta de su figura homológica, de modo que se cumplan unas determinadas condiciones:
1- Los puntos homólogos están alineados con el centro de la radiación, bien sea este propio o impropio.
2- Las rectas homólogas se cortan en puntos dobles (es decir, puntos donde coinciden el origen con la imagen) que pertenecen al eje.

Dados un plano y otro plano cualquiera, por ejemplo el plano horizontal (PH) y un punto O que no pertenece a ellos, se establece una correspondencia entre los puntos de dichos planos de forma que al punto A, del plano, le corresponde otro punto A' hallado como intersección de la recta OA con el PH. Esta correspondencia se dice que establece una perspectividad entre los dos planos.

La homología plana es, por tanto, la transformación geométrica de una figura en otra, coplanarias (es decir, todos los puntos, rectas, etc. están contenidos en un mismo plano), de modo que se cumplen entre ambas estas dos relaciones:

1ª- Los puntos homólogos están en línea recta con un punto fijo denominado centro de homología.
2ª- Las rectas homólogas se cortan en un mismo punto de una recta fija denominada eje de homología.

Rectas dobles
Se llaman rectas dobles las que unen dos puntos homólogos con el centro de homología.
Todos los puntos del eje de homología son dobles.

Rectas límites.
Se llama recta límite a la recta homóloga de la del infinito, es decir es aquella recta donde se encuentran los puntos cuyos homólogos están en el infinito.
Al ser la homología una relación entre dos figuras, existen siempre dos rectas límites, una para cada figura.
La RL es paralela al eje de homología.
Las dos rectas límites son paralelas al eje y la distancia del centro de homología a la recta límite (RL) es la misma que la del eje a la otra recta límite (RL').

Determinación de una homología.
Para que una homología quede definida es necesario conocer, además de una de las figuras dadas, los siguientes elementos:
1) El eje, el centro y un par de puntos homólogos A-A' de la figura.
2) El eje, el centro y la recta límite de la figura.
3) El eje, la recta límite y el punto homólogo.
4) Las dos rectas límites y el centro de homología.
5) Dos puntos homólogos de la figura dada y la dirección del eje.

Propiedades de las figuras homológicas
1.- Si la primera figura F no corta a la recta límite, su homóloga F' será una figura cerrada al no tener puntos en el infinito. En cambio, si F corta en uno o varios puntos a una recta límite F' será abierta al tener uno o varios puntos del infinito, pudiendo estar constituido F' por áreas independientes y separadas.
2.- Si una de las figuras F corta al eje de homología O, su homóloga F' lo cortará en los mismos puntos al ser estos dobles.
3.- Los homólogos de rectas paralelas al eje son rectas paralelas a este eje, al tenerse que cortar ambas en él.
4.- Las homólogas de un haz de rectas de la figura F con vértice M, en su recta límite es un haz de rectas paralelas, pues todas ellas pasan por el homólogo de M que es un punto del infinito. Esto es válido también para las rectas de la figura homóloga F' y su recta límite RL'.

Tipos de homología.

Homología.
Cuando tenemos el centro O, dos puntos homólogos y el eje. Sirve para obtener dos figuras homólogas. El sistema se usa para hallar secciones en diédrico.

Afinidad
Es un caso particular de homología. Se dice que tenemos una afinidad homológica o simplemente afinidad cuando se conocen dos puntos homólogos y el eje, encontrándose el centro de homología en el infinito.
La dirección de afinidad, tomada sobre el eje, es el ángulo formado por las rectas paralelas AA' y BB' con el eje de afinidad.
A la relación se denomina razón de afinidad, que es en este caso negativa por considerarse el eje como origen de distancias.
Si ambas figuras se encontrasen situadas a un mismo lado del eje, la razón sería positiva.

Homotecia
En una homotecia se dan el centro, el eje que se encuentra en el infinito y dos puntos homólogos.
Si k>0 los puntos A y A' están al mismo lado del centro de homotecia siendo entonces la homotecia directa.
Si k<0 los puntos A y A' están a distinto lado de O siendo entonces la homotecia inversa.
Al igual que en la homología, dos puntos homotéticos A y A' quedan unidos con un tercer punto llamado centro de homotecia.
Propiedades:
1.- Todas las rectas que pasan por el centro de homotecia O, se transforman en sí mismas y recíprocamente.
2.- La homotética de una recta R que no pasa por O es otra recta paralela a R.
3.- Al ser la homotética de una recta R una paralela a R, el ángulo de dos rectas es igual al que forman sus homotéticas, esto es, que en toda homotecia los ángulos resultan siempre iguales y los segmentos proporcionales.


De arriba a abajo: homología, homotecia, afinidad y homotecia afín. A la derecha sus correspondientes en el espacio.

Formas perspectivas
Se denominan formas perspectivas a aquellas figuras que están relacionadas entre si mediante una concatenación de operaciones de sección y proyección, es decir, que mediante esa cadena de operaciones partimos de una para obtener la otra. Detallando aún más esta definición, formas perspectivas son las que se relacionan del siguiente modo:
-Una forma y su proyección
-Una forma y su sección
-Dos proyecciones de una forma
-Dos secciones de una forma
Si elegimos como forma una radiación de rectas seccionada en el espacio por dos planos, encontraremos dos figuras perspectivas cuya obtención variará en función de que tanto el eje (recta de intersección de los planos secantes) como el vértice de la radiación sean elementos propios o impropios. Los distintos casos de perspectividad que surgen son los siguientes:

Eje Vértice de la radiación PERSPECTIVIDAD

Propio
Propio HOMOLOGÍA
Impropio Propio
HOMOTECIA

Propio Impropio AFINIDAD

Impropio
Impropio TRASLACION

Perspectividad en dos secciones de una forma. Este tipo de perspectividad se engloba en una clasificación más amplia que se conoce como homografías, ya que hacen corresponder a cada elemento origen un elemento imagen de su misma categoría geométrica, lo opuesto se llama correlación.

Elementos de la homología espacial

Si cortamos una radiación de centro V (es decir, un conjunto de planos y rectas que pasan por V) por medio de dos planos que se cortan (y que lo hacen en una recta denominada eje de homología), obteniendo dos figuras f y f’, perteneciendo la primera al plano origen y la segunda al plano imagen, hemos construido una homología en el espacio.

Homología en el espacio

La homología espacial queda definida por los siguientes elementos:
Centro de homología o punto de vista (V): colineal con cualquier par de puntos homólogos
Rayos de proyección o visuales: Pasan por V y contienen a puntos homólogos
Plano origen o geometral (G)
Plano imagen o de Dibujo o Plano del Cuadro (D)
Si ambos planos no son perpendiculares, hablamos de una perspectiva de cuadro inclinado.
Si los planos G y D son perpendiculares, la perspectiva es de cuadro vertical
Plano del horizonte (H), que pasa por V y es paralelo a G
Plano de desvanecimiento (W), que pasa por V y es paralelo a D
Eje de homología (e-e’): Lugar geométrico de los puntos dobles, y recta de intersección de D con G
Recta límite origen (RL): Lugar geométrico de los homólogos de los puntos del infinito de la figura imagen, y recta de intersección de G con W
Recta límite imagen (RL’): Lugar geométrico de los homólogos de los puntos del infinito de la figura origen, y recta de intersección de H con D
Distancia d: La que existe entre RL y e-e’ o bien entre V y RL’
Distancia g: La que existe entre RL’ y e-e’, o bien entre V y RL

Propiedades de la homología espacial

Puntos homólogos pertenecen al mismo rayo que pasa por V
Rectas homólogas se cortan en el eje de homología
La homología conserva las relaciones de incidencia
“Estar en...”: Si A pertenece a r, A’ pertenece a r’
“Pasar por, incidir en, estar incluido en, pertenecer a,...”
Las rectas RL, RL’ y e-e’ son todas paralelas

Invariantes proyectivos. (Ele. conservados en la proy. Cónica).
Propiedad compartida por la proyección de una figura.

No se conservan las propiedades:
Métricas, el paralelismo y perpendicularidad, ángulos, distancias; ejes, centros y focos de las cónicas, acotamiento (estar encerrada dentro de una circunferencia), la división de una razón dada (al proyectar se pueden cambiar los signos), tétradas.
En particular, si la figura homóloga de una circunferencia es una elipse, el homólogo del centro de la circunferencia no es el centro de la elipse.
La interpolaridad:
La propiedad de estar entre dos puntos no es un invariante proyectivo.

Se conservan las siguientes propiedades o correlaciones
Incidencia, intersección, tangencia; polaridad, separación y ordenación proyectiva y razón doble.
En afinidad o p. cilíndrica: paralelismo, separación y ordenación puntual y R. simple de tres puntos.

Tangencia
Si la recta tg es tangente a la cónica en el punto A, tg’ es tangente a la cónica en A’


Paso de la homología espacial a la homología plana

El Teorema de Steiner garantiza que dada una figura origen ABC, su homóloga sobre el plano imagen es invariante métricamente frente una deformación del paralelepípedo articulado formado por los planos origen, imagen, horizonte y desvanecimiento. Esta propiedad nos hace sospechar que la figura imagen será también invariante en las dos posiciones límite, es decir, cuando el plano H y G se solapan.

Transformaciones

La transformación de la homología espacial al plano se consigue de dos formas:
1- Mediante un giro coherente de los planos W y D empleando como ejes de giro las rectas RL y e-e’, hasta hacer coincidir el plano H con el plano G. Este giro puede efectuarse en ambos sentidos, no habiendo giros privilegiados. Esta operación se denomina abatimiento.
2- Mediante la proyección de la homología espacial sobre un plano exterior, el plano del papel. Emplearemos la proyección ortogonal de una homología espacial con el fin de conocer en diédrico la proyección de una sección generada por un plano en una superficie radiada a partir de una de las proyecciones de la base de dicha superficie.

Elementos de la homología plana
Son los mismos que para una homología espacial. Tan sólo hacer hincapié en que las distancias d y g permanecen constantes en el plano. De ese modo, siempre se verifica que
RL y RL’ son ambas interiores o exteriores al conjunto V/e-e’.

Modos de definir una homología:

Casos especiales de la homología plana
Característica de una homología
Una homología se caracteriza por tener:
V/e-e’/RL/RL’ propios
Una característica ±K
La característica de una homología es la razón doble (VDAA’)=K,
Esta razón es constante cualquiera que sea el par de puntos homólogos considerados y es característica de cada homología.

Casos posibles: Característica de una homología

Homología involutiva o armónica
K=±1
Las dos rectas límite se confunden y son la paralela media entre el eje y el vértice
Homología especial
K=±1
El centro V está sobre el eje de homología. Las dos rectas límite equidistan del centro y del eje
Afinidad
V/RL/RL’ impropios
e-e’ propio
Característica ±K
Simetría axial
V/RL/RL’ impropios
e-e’ propio
Característica K=-1
Es una afinidad involutiva y ortogonal
Homotecia
e-e’/RL/RL’ impropios
V propio
Característica ±K
Simetría central
e-e’/RL/RL’ impropios
V propio
Característica K=-1
Es una homotecia involutiva
La simetría central es un caso particular de homotecia en el plano
Traslación
V/e-e’/RL/RL’ impropios
Característica K=1

Definición de polaridad
Polaridad es una correlación de homografía asociada la identidad, es decir, a una correlación involutiva.
Se denomina polar de un punto P (denominado polo) respecto de una cónica c al lugar geométrico de los puntos del plano armónicamente separados de P por los de intersección de c con las secantes que pasan por P. Es decir, el polo P, los puntos de intersección M y N con la circunferencia de una secante que pase por el polo y el punto Q donde la secante corta a la polar forman una cuaterna armónica, luego se verifica que:
La polar es un lugar geométrico en el que la circunferencia siempre es perpendicular a la recta que une el centro de la circunferencia con el polo.
El polo P puede ser exterior, interior o pertenecer a c, distinguiéndose los siguientes apartados:
Si el polo P es exterior, la polar será secante a la circunferencia. En el caso extremo, cuando P es impropio, la polar será la recta perpendicular a la dirección del punto del infinito por el centro de la circunferencia.
Si el polo P es interior, la polar es exterior a la circunferencia. Si la polar es impropia, el polo se sitúa sobre el centro de la circunferencia
Si el polo pertenece a la circunferencia, la polar es una tangente a la misma en el polo.
La polar nos determina las tangentes a una cónica


Elementos conjugados

Decimos que dos puntos Q y Q1 son conjugados respecto a una circunferencia c cuando uno de ellos está sobre la polar del otro. Asimismo, las correspondientes polares q y q1 se denominan rectas conjugadas (q pasa por Q1 y q1 pasa por Q).
Luego se deduce que todo punto (polo) de una polar p es conjugado de su polo.
Es decir, si dados un polo interior P y una polar exterior p respecto a una circunferencia c escogemos un punto Q de la polar como polo y trazamos la polar q respecto a la circunferencia, esta pasará por P.
Si arbitrariamente elegimos otro punto Q2 de la polar q y trazamos la polar q2, obviamente también pasará por Q, pero no necesariamente por Q1.
Se puede elegir un punto Q2 de la polar q tal que la polar q2 pase por Q. La condición que deben cumplir los puntos Q1 y Q2 es que estén en la circunferencia ortogonal a c con centro en la polar q. Esta circunferencia pasa siempre por el pie de la polar de uno cualquiera de los puntos con respecto a c.
Si las rectas conjugadas pasan por el centro de la cónica, reciben el nombre de diámetros conjugados. Se demuestra que los diámetros conjugados en la circunferencia son siempre rectas perpendiculares entre sí. Además, la dirección de la tangente a la cónica en los extremos de un diámetro conjugado viene dada por el otro diámetro conjugado.
Las tres rectas q, q1 y q2 forman el denominado triángulo autopolar, ya que cada una de las rectas que contienen a sus lados son polares de los vértices opuestos.
Sea C el centro de la circunferencia origen, es decir, el polo de la recta impropia (del infinito) del plano origen.
En una transformación homológica se mantienen las correlaciones de polaridad, luego entre el homólogo de C y el homólogo de la recta impropia también ha de haber una correlación de polaridad.
El homólogo de la recta impropia del plano origen es la recta límite imagen RL’, luego si se mantiene la polaridad, el polo F respecto a dicha recta ha de ser el homólogo del centro de la circunferencia.
Sea Q’ el centro de la cónica imagen, polo de la recta impropia (del infinito) del plano imagen, o plano del cuadro.
En una transformación homológica se mantienen las correlaciones de polaridad, luego entre el homólogo de O’ y el homólogo de la recta impropia también ha de haber una correlación de polaridad.
El homólogo de la recta impropia del plano imagen es la recta límite origen RL, luego si se mantiene la polaridad, el polo respecto a dicha recta ha de ser el homólogo del centro de la cónica.
Es decir, el polo de la RL respecto a la circunferencia es el punto que se va a transformar en el centro de la cónica homóloga. Como la correlación de polaridad se conserva, los homólogos de dos rectas conjugadas serán dos diámetros conjugados en la figura homóloga que no tendrán necesariamente que ser ejes (los ejes son un caso concreto de diámetros conjugados). Si queremos obtener ejes, será preciso encontrar un par de rectas conjugadas concretas que pasen por el polo respecto a RL para que sus homólogas sean los ejes de la cónica.

P. gnomónica:

Representa elementos de una radiación, planos y rectas que inciden en un punto V. En cónico, V es el vértice y P –p. principal-, su proyección ortogonal al PC. Si en P incide una esfera de radio PV su intersección con el PC es el círculo de distancia CD.
Las trazas de elementos perpendiculares se corresponden en la antipolaridad respecto al CD. La recta p es la polar o recta que incide en las tangentes a la cónica desde P y su antisolar la simétrica en el plano respecto al punto principal C.


La geometría proyectiva: conceptos

Principio fundamental: dos rectas paralelas se cortan “en el infinito”, de modo que un espacio proyectivo consiste en un espacio afín al que hemos añadido un conjunto de puntos ideales (puntos infinitos) de modo que cada par de rectas paralelas se cortan en uno de estos puntos. La recta se comporta como cerrada.

La recta límite o del horizonte es la proyección de la recta del infinito del plano horizontal.

Teorema fundamental de la geometría proyectiva: (para ternas planas).
Sea f una biyección entre dos espacios proyectivos reales de la misma dimensión n ≥ 2 tal que la imagen de tres puntos alineados cualesquiera sean tres puntos alineados. Entonces f es una homografía. Existe una y sólo una proyectividad en un plano proyectivo, que transforma tres puntos colineales en otros tres.

Perspectividad
Sea X un espacio proyectivo, sean Π y Π’ dos hiperplanos distintos en X y sea O un punto exterior a ambos. Llamamos proyección perspectiva de centro O entre ambos hiperplanos a la aplicación πO: Π → Π’, que a cada punto P de Π le hace corresponder el punto donde la recta OP corta a Π’.

Eje de la proyección- La intersección entre los dos hiperplanos .
Proyección perspectiva - La aplicación que transforma un plano modelo en su imagen en un cuadro.
La geometría proyectiva es el marco idóneo para estudiar este tipo de aplicaciones, pues si quisiéramos hacerlo desde un punto de vista afín tendríamos que distinguir constantemente casos particulares a causa del paralelismo. Por ejemplo, no todo punto tendría imagen por una proyección perspectiva.
Hiperplano: En un espacio afín de dimensión n, es una variedad de dimensión n − 1.
Teorema Toda proyección perspectiva es una homografía.

Perspectividad en un espacio proyectivo X es una homografía distinta de la identidad que fija a todos los puntos de un hiperplano Π, llamado eje de la perspectividad, y a todos los hiperplanos que pasen por un punto O, llamado centro de la perspectividad.
Elación - perspectividad donde O está en Π.
Homología - perspectividad donde O no está en Π.
Traslación - si la perspectividad es una elación
Homotecia - si la perspectividad es una homología.

Un triángulo en un espacio proyectivo E es un conjunto de tres puntos no colineales, a los que llamaremos vértices. Los lados del triángulo serán las rectas que pasan por cada par de vértices.
Diremos que dos triángulos ABC y A’B’C’, con sus vértices en este orden, tienen a un punto O como centro de perspectiva si los vértices A y A’, B y B’, C y C’ están contenidos en tres rectas concurrentes en O. Diremos que tienen a una recta r como eje de perspectiva si cada par de lados AB y A’B’, AC y A’C’, BC y B’C’ se cortan en un punto de r.

Teorema de Desargues. En un espacio proyectivo, dos triángulos tienen un centro de perspectiva si y sólo si tienen un eje de perspectiva. Si dos triángulos son centralmente perspectivos también lo son axialmente- la recíproca es cierta y su dual es el mismo teorema.
Demost.: si los lados homólogos de los triángulos son paralelos se cortan en tres puntos impropios con lo cual pertenecen a una recta impropia o de desvanecimiento.
Def.: el lugar de los puntos de desvanecimiento es una recta.

Involución en una recta proyectiva X es una homografía I: X → X de orden 2, es decir, tal que I es distinto de 1 pero I ◦ I = 1. Dos puntos P y Q de X son conjugados respecto a I si I (P)= Q.
La involución es una proyectividad entre un mismo espacio proyectivo unidimensional que coincide con su inversa. Correspondencia entre 2 series biunívoca (proyectiva) y doble.
Teorema Las involuciones de una recta coinciden con sus polaridades simétricas.

Dualidad. Llamamos afirmación dual de una afirmación dada sobre un plano proyectivo a la afirmación que resulta de intercambiar las palabras ‘punto’ y ‘recta’ e invertir las inclusiones. El principio de dualidad afirma que la afirmación dual de cualquier teorema sobre planos proyectivos es también un teorema.
Los espacios tridimensionales también satisfacen un principio de dualidad, pero ahora las afirmaciones duales se obtienen intercambiando las palabras ‘punto’ y ‘plano’ e invirtiendo las inclusiones (las rectas son autoduales). Por ejemplo, dos afirmaciones duales son “Dados tres puntos no colineales existe un único plano que los contiene” y “Tres planos que no contengan una misma recta se cortan en un único punto”.
Dado un espacio proyectivo X, llamaremos H(X) al conjunto de todos los hiperplanos de X. Cada correlación se restringe a una biyección p : X → H(X).
A tales biyecciones se las llama dualidades, y si la correlación es simétrica se llaman polaridades.
Una polaridad p empareja cada punto P de X con un hiperplano Π. Diremos que P es el polo de Π y que Π es el hiperplano polar de P.
Correlación en un espacio proyectivo X es una biyección p : P(X) −→ P(X) entre las variedades lineales de X que invierte el orden. Las correlaciones inducidas por homografías se llaman correlaciones proyectivas.

Caracterización axiomática proyectiva bidimensional

Un plano proyectivo es un conjunto E, a cuyos elementos llamamos puntos, junto con una familia de subconjuntos no vacíos de E a cuyos elementos llamamos rectas, de modo que se satisfacen los axiomas siguientes:
Axioma 0- Existe al menos un punto y una recta. Autodual
Axioma 1- Por cada par de puntos distintos P y Q pasa al menos una única recta, que representamos por PQ. Dual del A3.
Axioma 2- Por cada par de puntos distintos P y Q pasa a lo sumo una única recta, que representamos por PQ. Dual del T1.
Axioma 3- Todo par de rectas distintas tienen al menos un punto en común. Dual del A1.
Axioma 4- Existen tres puntos distintos no colineales. Dual del T2.
Axioma 5- Toda recta contiene al menos tres puntos. Dual del T3
Axioma 6- No todos los puntos están sobre la misma recta.

Teorema 1: si m y n son dos rectas distintas, existe a lo sumo un punto T sobre ambas. Dual de A2.
Demost.: Por reducción al absurdo: si hubiera dos puntos sobre las dos rectas, sobre ellos habría más de una recta, lo cual contradice el A2.
Teorema 2: Por cualquier punto pasan al menos tres rectas. Dual de A4.
Demost.: Sólo T está sobre m y n (T1), si P=T por PT pasa una recta (A2), por tanto por T inciden tres rectas.
Teorema 3: No todas las rectas pasan por el mismo punto. Dual de A5.
Demost.: con todos los axiomas menos el A3.

Principio de dualidad: si un teorema se puede deducir de unos axiomas, su dual también.
Teorema fundamental de la geometría proyectiva: (válido sólo para ternas coplanares).
Existe una y sólo una proyectividad en un plano proyectivo que transforma tres puntos colineales ABC en en otros tres A’B’C’.


Demost. deductiva: con los A3, A5 y T3, T2.
Demost. intuitiva: En perspectiva cónica, desde dos puntos de vista OO2 como máximo, es posible observar dos ternas distintas. Si desde una terna ABC se ve desde O tal que OAA’ son colineales, cualquier recta incidente en A’ transformada de ABC determinará un O2 tal que OC’C’’ y OB’B’’ son colineales.

Independencia:
Creamos un modelo en el que se verifican todos los axiomas menos uno, que será el independiente. Por ejemplo, en el modelo siguiente se verifican todos menos el A5.


Elementos para la perspectiva cónica:

Paralelismo:
Def.: dos rectas son paralelas si se cortan en un punto del infinito. El homólogo del punto del infinito es el límite, luego:
Teorema 4: Dos rectas son paralelas si su punto límite La y Lb es coincidente y Ta es distinto de Tb.
Teorema 5: Dos planos son paralelos si la recta límite (l’a y l’b) es coincidente y Ta es distinto de Tb.
Teorema 6: Una recta y plano son paralelos si el punto límite de la recta incide en la recta límite del plano y Ta es distinto de tb.
Teorema 7: Si las trazas y los elementos límites son coincidentes, se tiene que, por el A2, los planos o rectas son incidentes o coincidentes (misma especie).

Incidencia:
Def.: Una recta y plano son incidentes si Ta incide en ta y L’a incide en l’a
Def.: Un punto incide en una recta si A’ incide en L’a - Ta
Def.: Dos rectas son incidentes en un punto si:
1- el punto de intersección es común
2- si determinan un plano
Def.: Un punto incide en un plano si incide en una recta del plano.

Perpendicularidad.
Def.: Dos elementos son perpendiculares si sus elementos límites se corresponden en la antipolaridad respecto al círculo de distancia.
Def.: Un elemento límite es el polo y el otro forma parte de la antipolar de ese polo, estando los dos alineados con el centro del CD.
Teorema 8: Una recta m es perpendicular a un plano a si el punto límite de la recta L’m es el polo de su antipolar (o recta límite del plano l’a).
Teorema 9: Un plano a es perpendicular a una recta m si el punto límite de la recta L’m es el polo de la antipolar (o recta límite del plano l’a).
Teorema 10: Un plano será perpendicular a otro plano dado si su recta límite incide en el polo de su antipolar (o recta límite del plano).
Teorema 11: Una recta m es perpendicular a otra recta n si m incide en el plano perpendicular a la n.
Teorema 12: Si dos rectas son perpendiculares sus puntos límites se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.

Caracterización axiomática proyectiva tridimensional

Un espacio proyectivo (tridimensional) es un conjunto E, a cuyos elementos llamaremos puntos, junto con dos familias de subconjuntos no vacíos de E a cuyos elementos llamaremos rectas y planos, de modo que se satisfagan los axiomas siguientes:
Axioma P1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una única recta, que representamos por PQ.
Axioma P2 Todo par de rectas contenidas en un mismo plano tienen un punto en común.
Axioma P3 Por cada tres puntos no colineales P, Q, R pasa un único plano, que representaremos por PQR.
Axioma P4 Si una recta r tiene dos puntos en común con un plano π, entonces r está contenida en π.
Axioma P5 Existen cuatro puntos distintos no coplanares.
Axioma P6 Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen dos puntos en común.
Axioma P7 Toda recta contiene al menos tres puntos.
Como en el caso bidimensional, los axiomas son los de la geometría afín cambiando el axioma de existencia de paralelas por su negación. Añadimos también la condición de que toda recta tenga tres puntos, que es necesaria porque toda recta ha de resultar de adjuntar un punto infinito a una recta afín, que tendría al menos dos puntos.







Anejo III: Ejemplo de las diferentes metodologías didácticas en un ejercicio de distancia entre rectas:

La resolución de estos tres ejercicios se ha acometido desde los tres métodos didácticos, del más intuitivo y directo (1) al más abstracto y analítico (3), pasando por un método que aunque deductivo (2), contiene grandes dosis de experimentación “inductiva”.
El 1 es el más fácil de “visualizar” y de concebir; de comprensión casi inmediata, siempre y cuando resolvamos el ejercicio en s. diédrico, también de una forma intuitiva. El 2 es aparentemente deductivo, no obstante su comprensión previa en el espacio se obtiene gracias a una experimentación previa con los elementos que intervienen en el mismo. El 3 es obviamente más difícil de entender por su aparente formalización “intuicionista”- si cabe la contradicción; es por el contrario el más sintético y elegante de resolver.

Distancia entre dos rectas que se cruzan: en geometría la distancia es sinónimo de mínima distancia.

1- Sean dos rectas a, b que se cruzan.
Realizamos el ejercicio en sistema diédrico. En planta, alzado y perfil calculamos la distancia entre a y b (perpendicular común) y la proyectamos en el alzado y perfil mediante paralelas xy, zt, por el método directo.
La intersección de las proyecciones ortogonales (x con z) e (y con t) nos determina la perspectiva del segmento, c’, que es la distancia entre a y b, (en la perspectiva entre a’ y b’).






2- Sean dos rectas v, t que se cruzan.
Esbozamos el planteamiento y su resolución en el espacio:
Por t incide un plano a paralelo a v.
Por un punto aleatorio M de v incide una recta r perpendicular al plano a.
Como vr determinan un plano b, esto implica que Tv-Tr es paralelo a L’r-L’v.
Así obtenemos Tr.
La recta r corta al plano según el punto X.
Por X se traza una recta d paralela a v, (L’v coincide con L’d).
La recta d corta a t en L.
Por L trazamos una paralela f’ a r.
La recta f corta a v en Z.
LZ es la distancia entre vt y por tanto la solución.
Sólo queda abatir LZ para obtener la verdadera magnitud de la distancia.







3- Sean dos rectas m, n que se cruzan.
El punto límite de la perpendicular común será el antipolo L’p de L’m L’n.
Ya que según el teorema 12 si p es perpendicular a n: L’p y L’n se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.
De igual forma, según el teorema 12 si p es perpendicular a m: L’p de L’m se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.
Si el segmento p es la distancia más corta entre m y n los extremos de este segmento pertenecen a m, n. Con ello si p corta a m, n, implica que determina dos planos distintos (pm), (pn) -Teorema 14 -cuya intersección es p –Teorema 15. La intersección de p con m,n es la distancia entre mn.
Teorema 13: una recta y un punto determinan un plano. Demost.: por Axioma P3 y Axioma 1 y 2
Teorema 14: Dos rectas que se cortan determinan un plano. Demost.: por Teorema 13 y Axioma 1 y 2. Axioma 5, 6.
Teorema 15: Dos planos que se cortan determinan una recta –dual del 14.
Según el teorema 13:
El plano determinado por m y L’ p contiene a la perpendicular común buscada p. Ya que el plano incidente en m y L’p también contiene a p, pues m se corta con p, según el teorema 14.
El plano determinado por n y L’ p contiene a la perpendicular común buscada p. Ya que el plano incidente en n y L’p también contiene a p, pues n se corta con p, según el teorema 14.
En consecuencia, los planos m,L’p y n,L’p determinan p, y esta no puede ser otra que la perpendicular común, por la antipolaridad entre los elementos límites.